积分,体积,极值.docVIP

三、计算题 1、设 ，求． 解 ， 4、设，求. 解: 因为，所以 5. 设，求及； 解：设　　 则 7 设，求及； 解：设，则 32.设函数由所确定，试求， 解：由 得 所以 25.计算. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ 计算二重积分 2、计算，其中是闭区域:． 解：利用对称性，并设，则 原式 ． 9. ，其中D是两条抛物线，所围成的闭区域； 解： 10. ，其中； 解： 16. ，其中D是由直线，及所围成的闭区域； 解： 17.，其中D是由圆，及直线，所围成的第一象限内的闭区域； 解： 28. ，其中是由曲线，直线，所围成的区域. 解：原式＝ ＝＝ 求体积 3、求由围成的四面体的体积． 解 ． 11.求由三个平面，，所围成的柱体被平面及抛物面截得的立体的体积； 解： 18. 求由四个平面，，，所围成的柱体被平面及截得的立体的体积； 解： 14．抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。 解：设椭圆上任一点的坐标为，则原点到这椭圆的距离的平方为， 即求在条件和下的极值。 构造拉格朗日函数 令 (1) (2) (3) 比较 (1)、(2)得 ， 代入 得 把 和 代入 解得 从而得 ， 从而得 所以，原点到这椭圆的最长与最短距离分别为和 21． 将周长为的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体.　问矩形的边长各为何值时，才可使圆柱体的体积为最大？ 解：设矩形的边长分别为和，则绕它的一边旋转而构成的圆柱体的体积为 即求 在 条件下的极值。 构造拉格朗日函数 令 两式比较得 代入 得 ， 所以，当矩形所绕的一边的长为，底边的长为时， 构成的圆柱体的体积为最大 27.求由曲线，，，所围成图形的面积. 解： ＝+ ＝＝ 求由曲线及直线和所围成的平面图形绕轴旋转所得的旋转体的体积. 解： ＝ ＝＝ 31求的极值点，并求其极值. 解：由， 得，即驻点坐标为 又 所以， 所以为极值点，极值为.