热力学统计物理习题.docVIP

1.2 证明任何一种具有两个独立参量的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数，根据下述积分求得： 如果，试求物态方程。 解：以为自变量，物质的物态方程为 其全微分为 　　 （1） 全式除以，有 根据体胀系数和等温压缩系数的定义，可将上式改写为 （2） 上式是以为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 （3） 若，式（3）可表为 （4） 选择图示的积分路线，从积分到，再积分到（），相应地体 积由最终变到，有 即 （常量）， 或 　　 　　 （5） 式（5）就是由所给求得的物态方程。 确定常量C需要进一步的实验数据。 1.3 在和1下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为可近似看作常量，今使铜块加热至。问： （a）压强要增加多少才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加100，铜块的体积改变多少？ 解：（a）根据1.2题式（2），有 　 　　 （1） 上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差，温度差和压强差之间的关系。如果系统的体积不变，与的关系为 　　 （2） 在和可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得 　 （3） 将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。 但是应当强调，只要初态和终态是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。 这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。 本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。 将所给数据代入，可得 因此，将铜块由加热到，要使铜块体积保持不变，压强要增强 （b）1.2题式（4）可改写为 　 （4） 将所给数据代入，有 因此，将铜块由加热至，压强由增加，铜块体积将增加原体积的倍。 1.12 假设理想气体的是温度的函数，试求在准静态绝热过程中的关系，该关系式中要用到一个函数，其表达式为 解：根据式（1.8.1） （1） 用物态方程除上式，第一项用除，第二项用除，可得 　 （2） 利用式（1.7.8）（1.7.9） 可将式（2）改定为 （3） 将上式积分，如果是温度的函数，定义 　　 （4） 可得 （常量）， 　　 （5） 或 （常量）。 　 （6） 式（6）给出当是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中T和V的关系。 1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。 解：假设在图中两条绝热线交于点，如图所示。设想一等温线与 两条绝热线分别交于点和点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程中，系统在等温过程中从外界吸取热量，而在循环过程中对外做功，其数值等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有 。 这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了， 这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。 因此两条绝热线不可能相交。 1.15 热机在循环中与多个热源交换热量，在热机从其中吸收热量的热源中，热源的最高温度为，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度 为，试根据克氏不等式证明，热机的效率不超过 解：根据克劳修斯不等式（式（1.13.4） 　　　 （1） 式中是热机从温度为的热源吸取的热量（吸热为正，放热为负）。 将热量重新定义，可将式（1）改写为 　　　 （2） 式中是热机从热源吸取的热量，是热机在热源放出的热量，，恒正。 将式（2）改写为 　　　 （3） 假设热机从其中吸取热量的热源中，热源的最高温度为，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为，必有 故由式（3）得 　 （4） 定义为热机在过程中吸取的总热量，为热机放出的总热量，则式（4）可表为 　 　 （5） 或