复变函数285954.pptVIP

第一章 复变函数2 第一章 复变函数 §1.1 复数与复数运算 §1.2 复变函数 §1.3 导数 §1.4 解析函数 §1.5 平面标量场 §1.3 导数 * * 1、定义 设w=f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某点z，极限 存在，则称函数f(z)在z点处可导（或可微），并称该极限值为函数f(z)在z点处的导数（或微商），记为 2、求导法则: 形式上与实函数一样! 3、柯西－黎曼条件 导数与?z→0的方式无关，可沿复平面上任一曲线逼近零。下面研究沿实轴和虚轴逼近的路径。 若f(z)=u(x, y)+iv(x, y)在点z=x+iy处可导，则有 其中已令?z= ?x+i?y, f(z+?z)-f(z)=?u+i?v, 及 沿实轴：?y=0, ?z= ?x→0, 式(A)可写为 沿虚轴：?x=0, ?z=i?y→0, 式(A)又可写为 若f(z)在z点可导， 则极限(B)和(C)存在且彼此相等，于是得到柯西－黎曼方程，或柯西－黎曼条件(Cauchy-Riemann条件，简称C-R条件) (B) (C) 柯西－黎曼条件是复变函数可导的必要条件: 说明 在z=0处满足C-R条件，但不可导. 满足柯西－黎曼条件的复变函数不一定可导。例如函数 不满足柯西－黎曼条件的复变函数必定不可导。例如连续的函数w=Rez=x. 证明：在I、III象限，u=(xy)1/2, v=0, 于是在z=0处导数为 若增量?z沿斜率为k的射线趋于0, 则有?y= k?x, 上述导数 x x+?x y y+?y 对于y＝kx的射线, 有 ?y= k?x. 是一个与k有关的值，说明沿不同的路线趋于0, ?f/?z的极限值不同(无极限)，因此说f(z)在z=0处不可导。 4、可导的充要条件 复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导的充分必要条件是 证明： 由于二元函数的偏导数存在且连续，则有 增量?x和?y的高阶展开项。 这样，不管?z按什么方式逼近0, ?f/?z总是有同一个极限值 说明 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么 如果函数f(z)在区域B内处处可导，则称f(z)在区域B内可导。可导必连续，反之不然。 极坐标下的Cauchy-Riemann条件 例2：求i i=? 解: ii=eiLni=ei(?/2+2k?)i=e-(?/2+2k?), k为整数. 例1：求Lni=? 解: 因为i＝ei?/2，所以 Lni=ln1+ (?/2+2k?)i= (?/2+2k?)i , k为整数. 同理可求 例题与习题 例3：求21+i=? 解: 21+i =e(1+i)Ln2=e(1+i)(ln2+2k?i)=e(ln2-2k?)+i(ln2+2k?) = e(ln2-2k?)[cos(ln2)+isin(ln2)] =2e-2k?[cos(ln2)+isin(ln2)], k为整数. 例4：求sinz和cosz的实部和虚部？ 解： 令z＝x＋iy (其中x, y ?R)，根据三角函数的定义，得到 同理可求 例5 [p9,习题2 (9)]. 求|eiaz-ibsinz|. (a和b为实常数, z=x+iy, x和y为实数) 。 解： 令z＝x＋iy (其中x, y ?R)，因为 所以得到 例6. 求解方程 sinz＝2 [参看梁书P9,习题3] 解： 根据方程sinz＝2, 可得 （1） （2） 式(1)给出解: cosx＝0, 或者y＝0. 显然y?0, 否则式(2)将给出sinx=21. 因此式(1)给出 x＝?/2+2k?, (k为整数). 解方程（3）得到 所以 （3） 代入式（2）中得到 最后得到