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1、 复变函数的导数与微分 例2 思考：如何加强条件，使之变为充要条件呢？ 3. 例题选讲 4、小结与思考 极坐标系下的柯西-黎曼条件 设 若 在点 是可微，且满足极坐标的 柯西-黎曼条件为 则在点 Z是可微的，并且 定理2.5 函数在区域D内解析的充分条件 例9 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: 解 不满足柯西－黎曼方程, 四个偏导数均连续 指数函数 四个偏导数均连续 例10 证 证明 例11 解 例12 解 课堂练习 答案 在本课中我们得到了一个重要结论—函数 解析的充要条件: 思考题 思考题答案 解析函数的判定方法 * 上页 下页 铃 结束 返回 首页 §2.1 解析函数的概念与柯西—黎曼条件 1、复变函数的导数与微分 2、解析函数及其简单性质 3、柯西—黎曼条件 4、小结与思考 1.1 导数的定义: 注1: 注2: 例1 解 1.2 微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致. 特别地, 1.3 求导法则: 1.4 可导与连续的关系: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证 例3 解 (1) f(z)=?z的连续性显然 2.1 解析函数的定义 定义 记作：f(z)??A(D) 2、解析函数及其简单性质 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 即函数在z0点解析 函数在一点处解析与在一点处可导不等价 函数在z0点可导 函数闭区域上解析与在闭区域上可导不等价 即函数在闭区域上解析 函数在闭区域上可导 2.2 奇点的定义 定义 例如: 以z=0为奇点: 例5 答案： 2.3 解析函数性质定理 以上定理的证明, 可利用求导法则. 根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. 通过上述用定义讨论函数的解析性， 函数w=f(z) 在一点处的可微与u(x,y),v(x,y) 的关系 假设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某一点z=x+iy可微 3、柯西—黎曼条件 定理2.1 (可微的必要条件) 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义,且在D内一点z=x+iy可微,则必有: (1)偏导数 在点(x,y) 存在; (2)u(x,y),v(x,y)在点(x,y)满 足C-R条件: 注1：定理2.1中的条件是必要而不是充分的 注2：定理2.1可以提供判定函数在某点不可微（可导） 例3 证 练习： 答案： 注2：定理2.1可以提供判定函数在某点不可微（可导） 定理2.2(可微得充要条件) 证 (1) 必要性. (2) 充分性. 由于 [证毕] 推论2.3 函数在一点可微的充分条件 函数在一点可微的充分条件 推论2.3是直角坐标形式，是否有极坐标形式？ P91:9题 2. 函数w=f(z)在区域的可微性（解析性)与u(x,y),v(x,y)之间的关系 定理2.4(函数在区域D内可微的充要条件) * 上页 下页 铃 结束 返回 首页