复变函数一.pptVIP

主讲教师:冉扬强 第一章 复数与复变函数 主要内容 (1)、复数及其代数运算 (2)、复数的几何表示 (3)、复数的乘幂与方根 (4)、区域与约当曲线 (5)、复变函数的概念 (6)、复变函数的极限与连续 重点和难点 重点：复数和复变函数的定义、运算规则；复球面与无穷远点的概念；区域与约当曲线 难点：复球面与无穷远点 §1 复数及其代数运算 1、复数的概念　一个复数可表示为 其中 x, y 为实数，分别为复数z 的实部与虚部，记为 ; ( 即 ) 为虚单位. 复数的上述表示称为复数的代数式. 讨论：1)实部为零的复数 称为纯虚数,虚部为零的复数 称为实数. 全体实数只是全体复数的一部分. 2)若实部x = 0 , 虚部y = 0 , 则 z = 0 ——复数零. 即: 2、复数的代数运算 1)相等: 2)和差: 3)积: 4)商: 从复数的运算法则的定义中很明显的得出复数运算的交换律、结合律和分配律，即 交换律： 结合律： 分配律： 全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域. 在复数域中，复数没有大小. 3、共轭复数 一个复数 的共轭复数为 或称 与 复数共轭. 性质： §2 复数的几何表示 1、复平面 如果把 x 和 y 当作平面上的点的坐标，复数 z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或 z平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴. 在复平面上，从原点到点 z 所引的矢量与复数 z 也构成一一对应关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如： 这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系. 2、复数的三角形式和指数形式　用极坐标r,θ代替直角坐标x和y来表示复数z.有　　　　　　　　　 则复数ｚ可表示为：　　　　 ——三角式 利用欧拉公式： 复数ｚ可表示为： ——指数式 叫做复数ｚ的模，θ 称为复数ｚ 的幅角，记为 . 讨论：i). 复数的幅角不能唯一地确定. 如果 是其中一个幅角，则 也是其幅角，把属于 的幅角称为主值幅角，记为 . 　ii). 复数“零”的幅角无定义，其模为零. iii). 当 r = 1 时, 称为单位复数. 根据图1.1，图1.2，图1.3 还可以得出三角不等式 3、复球面与无穷远点  复数的另一种几何表示，就是建立复平面与球面上的点的对应。 把一个球放在复 平面上，球以南极 S 跟复数平面相切 于原点，通过O点 作一垂直于z平面的 直线与球面交于N点， N 称为球的北极。 在复平面上任取一点 z ，与球的北极N的联线跟球面相交于 ，这样就建立起复平面上的有限远点跟球面N以外的点的一一对应，这个球叫做复数球. 考察平面上一个以原点为心的圆周C，在球面上对应的也是一个圆周Γ（即纬线），当圆周C的半径越来越大时，圆周就越趋于北极N.因此，我们可以把北极N与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为 . 无远点的幅角没有明确意义. 复平