第1讲：场论.复变函数.pptVIP

第1章 复数与复变函数 §1.1 复数 复数简介 1.复数的起源 复数的出现，它不是数学史上具有里程碑性质的重大事件，但同样曾长期引起人们的困惑，而最后又带给了人 们光明和成功 从复数被提出---200多年迷茫，人们使用它，但又拒绝承认它---从虚无飘渺的数---变为实实在在的数，并在现代数学和开学技术领域得到广泛应用。 2.复数的应用 代数方程解的存在性，得到了圆满的解决； 复数的分式线性变换，成为研究几何的主要代数工具； 解析函数方法与理论进入了物理学及某些实用工程学； 黎曼曲面的概念与理论，便是当代数学中流形概念的最早的雏形； 复数在几何，三角，物理上的应用。 3.复数的推广 1843年，爱尔兰数学家—哈密顿，提出了一种新型的数： 四元素. 现在许多领域应用，连哈密顿本人也始料未及。 其意义; （1 ) 它是第一个发现的乘法不可交换而可以作除法的数 系，形成了一个在实数域上四维线性空间中的代数； （2）物理、力学与应用数学，特别是在包含描述三维空间的旋转的计算，当代计算机图形学等方面，也扮演着一个重要的角色. 场 论 场：发生物理现象的空间部分称为场， 场是物理量的空间 函数。 它分为：数量场； 矢量场；张量场 场的两个显著特征： （1）场是物理的客观实在。 （2）场可以随时间和空间联合变化 不随时间变化为稳定场，否则为不稳定场。 等值面： 数量函数取相同数值的点连接起来构成的一个曲面 矢量和矢量理论：它是场论的基础知识，有广泛的应用背景 和深刻的物理意义 如“信息工程中 语音、图像和编码， 均可采用高维矢量 梯度 是数量场在空间最重要的微观变化量。即，在空间某点的数量场可向各种不同方向做出变化，于是变化方向成了研究数量场的独有特色 定义： 若在数量场 中的一点 处，存在这样一个矢 ，其方向为函数 在 点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值，则称矢量 为函数 在点 处的梯度 应用 1. “瞎子爬山”的思想； 2. 最优化问题。 散度 是矢量场重要的微观测定之一 通量： 它表示矢线 穿过曲面 的总量 究其实质，是由于力线背后的源在起作用，为了解“源”在 内的分布情况以及“源”的强弱程度等问题引入矢量场的散度概念. 散度的定义： 散度为数量，表示在场中一点处通量对体积的变化率 说明：在该点处对一个单位体积来说所穿出之通量，称为该点处的强度 定理: 在直角坐标系中，矢量场 在任一点 处的散度为 旋度 旋度是矢量场的另一重要的微观测度，是一个矢量 环量：设有矢量场 ，则沿场中某一封闭的有向曲线 的 曲线积分 叫矢量场中按积分所取方向沿曲线 的环量 实际背景：在力学上一质点沿封闭曲线 一周，F力场所做的 W 功 ，就是一个典型的旋量。 旋度的定义：若在矢量场 中的一点 处存在这样的一个矢量 ，矢量场 在点 处沿其方向的环量面密度为最大，这个最大的数值正好就是 ，则称矢量 为矢量场 在点 处的旋度。 即： 旋度矢量在数值和方向上表出了最大的旋量面密度。 总之：梯度、散度、旋度都是客观量，为使其表达更为简洁、合适，对不同的几何架，应采用不同的坐标，就应引入正交曲线坐标系。 §1.1.1 复数的基本概念 设 ， 为两个任意实数，称形如 的数为复数，记为 ，其中 满足 ，称为虚数单位.实数 和 分别称为复数 的实部和虚部，记为 ， . 各数集之间的关系可表示为 设 与 是两个复