第3章复变函数的积分84207.docVIP

第3章 复变函数的积分 3.1 复变函数积分、柯西积分定理与解析函数的导数 复变函数的积分本质上是二元函数的第二类线积分. 积分时用到 3-1 设是，从到的一周，则（ ）. （A） （B） （C） （D） 解 故 选（D）. 3-2 （ ）. （A） （B） （C） （D） 解 原式 选（D）. 这些题均可用留数做，在这里是为了熟悉柯西积分公式及复合闭路定理. 3-3 （ ）. （A）0 （B） （C） （D） 解 ，在内被积函数有2个奇点：和，故 原式 选（B）. 3-5 （ ）. （A）0 （B） （C） （D） 解 和都是奇点，故 原式. 选（C）. 高阶导数公式. 3-6 （ ）. （A） （B） （C） （D） 解 原式 选（C）. 用二阶导数算. 3-7 （ ）. （A）0 （B） （C） （D） 解 原式 选（D）. 二阶导数公式及 3-8 设，试求及的值. 解 又 ，故 ,故将化为再做积分. 3-9 计算，其中是常数. 解 设，则 于是 若 时，原式 当 时，原式 3.2 解析函数与调和函数 3-11 如果是解析函数，试证： （1）也是解析函数. （2）是的共轭调和函数. 证 （1）是解析函数. （2）为解析函数，故是的共轭调和函数. 注意解析函数与调和函数的关系. 3-12 求的共轭调和函数. 解 ，故，故是调和函数，以下求. 由C-R条件得 可用以下三种方程求. 1.（凑全微分法） 故 2.（偏积分法） 故 因此 3.（线积分法） 由于是全微分表示式，故 3-13 设是上半平面的解析函数，，求 解 ，求，用偏积分法： ，故 故 是实常数） 或 ，其中，是实常数. 这里有两个待定的函数. 首先要是调和函数，而是的共轭调和函数. 3-14 若解析且，求实函数及. 解 ，调和，故 由C-R条件， 而 因此 由得 由得， 故，；； 3-15 设解析，且，求 解 故解析函数的虚部为0，从而有 是实常数，于是 由此 （是复常数） 通过做这些题，熟悉解析函数与调和函数之间的关系. 3-16 设在内解析，在上连续，且在上，证明 证 （） 用关于解析函数的柯西积分公式来证明调和函数的平均值公式，使证明过程简单. 3-17 如果是区域内的调和函数，为内以为圆心的正向圆周：，它的内部全含于，试证： （1）即调和函数在任一点的值，等于它在圆周上的平均值. （2） 证 （1）由柯西公式： 在上，，故 由于即的实部，故有 (2) 这个积分实际是在圆域：上的平均值. 3-18 如果在区域内解析，为内的正向圆周：，它的内部全含于，设为内一点，证明 证 被积函数为，由于 ，表示是圆外一点，故在圆内处处解析，因此 至此，得出的一种积分表示式. 3-19 条件如上题，证明 证 由 及 ，得 便是所要证明的结论. 泊松积分公式作为圆内调和函数，在圆上满足已知条件的泊松问题的解即的已知的）的解. 3-20 证明泊松（Poisson）积分公式： 这里，，是调和函数，这个公式表示：调和函数在圆内（）任一点的值，可用它在圆周上的值来确定. 证 设是的共轭调和函数，则是解析函数.由上题的结果知 令则 而 故 取实部即得 便是所要证明的结论. 41