不确定关系2.pptVIP

* 不确定关系 ?不确定关系的物理表述及物理意义 ?x表示粒子在x方向上的位置的不确定 范围，?px表示在x方向上动量的不确定 范围，其乘积不得小于一个常数。 若一个粒子的能量状态是完全确定的， 即?E=0 ，则粒子停留在该态的时间为 无限长， ?t=? 。 1927年海森堡提出了不确定关系，它是自然界的 客观规律不是测量技术和主观能力的问题。是量 子理论中的一个重要概念。 例如：小球质量m=10-3千克，速度V=10-1米/秒 ?x=10-6米，则： 因为普朗克常数在宏观尺度上很小，因此物理量的 不确定性远在实验的测量精度之内。 例如：电子质量me=9.1?10-31千克，在原子中电子的 ?x?10-10米，则： 结果表明：原子中电子速度的不确定量与速度本身 的大小可比，甚至还大。微观粒子的波粒两象性可 用不确定关系具体说明。 ? 电子单缝衍射 例如：在示波管中电子的?x?10-4米，V?107米则： 可见 这时可认为电子的位置和动量能同时确定，电子 具有确定的轨道，可用经典理论来描述。 电子单缝衍射实验说明了电子的波粒两象性， 并验证了不确定关系。 a p x y X p 根据单缝衍射公式半角宽： 电子通过单缝后，动量在y方向上的改变至少： 电子通过单缝位置的不确定范围 代入德布罗意关系： 得出： 上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不表示准确的 量值关系。量子力学严格证明给出： ?不确定关系的应用 在原子尺度内， 是个良好的近似。 ?? 估算氢原子可能具有的最低能量 电子束缚在半径为r 的球内，所以 按不确定关系 当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量： 代入上式得： 基态能应满足： 由此得出基态氢原子半径： 基态氢原子的能量： 与波尔理论结果一致。 本例还说明：量子体系有所谓的零点能。 因为若束缚态动能为零，即速度的不确定 范围为零，则粒子在空间范围趋于无穷大， 即不被束缚。这与事实相左。 ?? 解释谱线的自然宽度 原子中某激发态的平均寿命为 普朗克 能量子假说 不确定关系 谱线的 自然宽度 它能解释谱线的自然宽度 18-7 波函数 ? 自由粒子的波函数 一个自由粒子有动能E和动量P。对应的德布罗意 波具有频率和波长： 或者用角频率和波矢量表示： 单色平面波的复数形式为： 称它为在坐标表象中动量为 的本征态。 ? 波函数的统计解释 用波函数完全描述量子状态是量子力学的基本假设之一 波函数模的平方 代表时刻 ，在 处 粒子出现的几率密度。 时刻 粒子出现在 附近 体积内的几率为： 波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅 （几率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态 电子衍射表明的波粒两象性，可用波函数解释。 波函数必须满足以下几个条件： 单值、连续、有限、归一化 连续可微，且一阶导数也连续可微 若一个未归一化的波函数 其归一化的形式的 ，它们描述同一个微观状态，则归一化系数： ? 态的叠加原理 用电子双缝衍射说明量子力学中态的叠加导致 了在叠加态下观测结果的不确定性。 ? 1 2 当双缝同时打开时， 一个电子同时处在 ?1态和?2态。双缝 同时诱导的状态是 它们的线性组合态。 单缝1使通过它 的电子处于?1态； 单缝2使其处于 ?2态。 处于两态的几率分别为： 因为 第三项称为相干项。 量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测 结果的不确定性，出现了干涉图样。 它是由微观粒子波粒两象性所决定的。 处于两态的几率分别为： 双缝同时打开时，电子的几率分布为： 例题18-3 设粒子在一维空间运动，其 状态可用波函数描述为： 其中A为任意常数，E和b均为确定的常数 求：归一化的波函数；几率密度W？ 即： 由此可求出归一化的波函数和几率密度 几率密度为： 如图所示，在区间 （?b/2,b/2)以外找 不到粒子。在x=0 处找到粒子的几率 最大。 b/2 -b/2 18-8 薛定谔方程 ? 自由粒子的薛定谔方程 在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数 来描写，状态随时间的变化遵循着一定的规律。 1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理 的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的 又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。 一个动能为E和动量为 ，即波矢为 的自由粒子，在坐标表象的波函数： *