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思考题 * 上页 下页 返回 方程组有解的条件与解法 主要内容 齐次线性方程组的解的性质与结构 非齐次线性方程组的解的性质与结构 第四节 线性方程组的解的结构 我们用向量组线性相关的理论来讨论线 性方程组的解. 二、齐次线性方程组 1. 基础解系 (1) 解向量 设有齐次线性方程组 若 x1 = ?11 , x2 = ?21 , ··· , xn = ?n1 为 (1) 的解, 则 称为方程组 (1) 的解向量 (2) Ax = 0的解的性质 性质 1 若 x = ?1 , x = ?2 为 (1) 的解, 则 x = ?1 + ?2 也是 (1) 的解. 证 只要验证 x = ?1 + ?2 满足方程 (1) : A( ?1 + ?2) = A?1 + A?2 = 0 + 0 = 0. 性质 2 若 x = ?1 为 (1) 的解, k 为实数, 则 x = k?1 也是 (1) 的解. 证 A( k?1) = k(A?1) = k 0 = 0. 把方程 Ax = 0 的全体解所组成的集合记作 S , 如果能求得解集 S 的一个最大无关组 S0 : ?1 , ?2 , ···, ?r，那么方程 Ax = 0 的任一解都可由最大无关 组 S0 线性表示； 另一方面，最大无关组 S0 的任何 线性组合 x = k1?1 + k2 ?2 + ··· + kr?r 都是方程 Ax = 0 的解，因此上式便是方程 Ax = 0 的通解. 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该 齐次线性方程组的基础解系. 2. 基础解系的求法 设系数矩阵 A 的秩为 r , 并不妨设 A 的前 r 个 列向量线性无关, 于是 A 的行最简形矩阵为 与 B 对应, 即有方程组 把 xr+1 , ··· , xn 作为自由未知量，并令它们依次 等于 c1 , ··· , cn-r ，可得方程组 (1) 的通解 把上式记作 x = c1?1 + c2 ?2 + ··· + cn-r ?n-r 可知解集 S 中的任一向量 x 能由 ?1 , ?2 , ··· , ? n-r 线性表示， 又因为矩阵 (?1 , ?2 , ··· , ?n-r ) 中有 n – r阶子式 | En – r | ? 0 ，故 R(?1 , ?2 , ··· , ?n-r ) = n – r , 所以 ?1 , ?2 , ··· , ?n-r线性无关. 根据最大无关组 的等价定义，即知 ?1 , ?2 , ··· , ?n-r是解集 S 的最 大无关组， 础解系. 即 ?1 , ?2 , ··· , ?n-r是方程组 (1) 的基 依据以上的讨论，还可推得 定理 7 设 m×n 矩阵 A 的秩 R(A) = r , 则 RS = n – r . n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解集 S 的秩 步骤： 1、把系数矩阵用行变换化成行最简形. 设R(A) = r 2、写出通解： x = c1?1 + c2 ?2 + ··· + cn-r ?n-r . 3、 ?1 , ?2 , ··· , ?n-r就是一个基础解系. 例12 求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 解 　　对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有 令x3=c1,x4=c2, 方程组的一个基础解系为： 另解: 所以基础解系为 证明 记 B = (b1 , b2 , ··· , bl)，则 A(b1 , b2 , ··· , bl) = (0 , 0 , ··· , 0) , 即 Abi = 0 (i = 1 , 2 , ··· , l) , 表明矩阵 B 的 l 个列向量都是齐次方程 Ax = 0 的解. 记方程 Ax = 0 的解集为 S，由 bi ? S， 知有 R(b1 , b2 , ··· , bl) ≤ RS ，即 R(B) ≤ RS . 而由 RS = n-R(A) ，故R(A) + R(B) ≤ n . 例 13 设 Am×nBn×l = O，证明 R(A) + R(B) ≤ n . 定理7， 证明： 三、非齐次线性方程组 1. 非齐次线性方程组解的性质 性质 3 设 x = ?1 及 x = ?2 都是Ax = b的解, 则 x = ?1 - ?2 为对应的齐次线性方程组Ax = 0的解. 性质 4 设 x = ? 是Ax = b的解, x = ? 是Ax = 0的解, 则 x = ? + ? 仍是Ax = b的解.