在初等数学中培养学生的探究思维能力(第一篇).docVIP

在初等数学中培养学生的探究思维能力 第 一 篇 -------------探究教学的基本理论研究 重庆滨江实验学校 朱 波 【摘 要】 本文从一道中考展望题出发，引用其解法的开放性特点，论述了培养学生的发散思维与探究思维能力的经验，从而倡导在平时的数学课程教学中要实施以培养学生的探究思维能力和创新意识的素质教育模式。 【关键词】 发散思维 探究思维 探究教育 创新意识 [引入背景] 重庆市南岸区的一位学科带头人在《××年中考数学展望》一文中提到了这样一个题： 把一个三角形分成面积相等的三个多边形，请给出至少四个不同的答案。 读了此题，给人的最初印象是考察开放性思维即一题多解。但细想一下，此题的开放性解法，其思路的产生，必须要在平时的学习中对探究思维能力有所培养。 [正 文] 我们先分析一下此题，看几个比较典型的解法思路。 首先从题目条件分析来看，此几何图形为一个三角形，要把它分为三个面积相等的多边形，学生比较容易想到的思路有两种： 第一种：用等底等高的思路。 图形： 作图说明： 如图所示：把△ABC的底边BC用D，E三等分，则BD=DE=EC，△ABD与△ADE与△AEC的高相等，则S△ABD=S△ADE=S△AEC,则原△ABC被等分为三个面积相等的多边形。 此思路实际上有一定变式，如下所示。 （1） 图： 作图说明： 取BC边距B点长处的D点，连结AD，再取AD中点E，连结CE两点，则S△ABD=S△CDE=S△AEC。 （2） 图： 作图说明： 取BC中点D，连结AD，把AD用E、F两点三等分，再连结BE，CE，BF，CF则SABEC=SBECF=SBFC. 该种思路总结： 但以上几种方案，其思路的原理都属于一种思路，即“等底等高”。“等底等高”的思路极为重要，在初中几何中属于应掌握的思路。教师在讲授三角形面积时，不仅仅要向学生介绍三角形的面积计算公式S=ah，更为重要的是让学生明白，一个三角形的面积就是由底边a,和高线h,两者共同确定，高和底都相等的三角形，无论是什么形状，其面积必然相等。那么学生可以由此展开发散思维，去比较三角形的面积大小。 第二种思路：利用平行线截得三角形相似。 图： 作图说明： DE与FG是平行于底边BC的平行线段，那么△ADE∽△AFG∽△ABC，若让△AFG与△ABC分别成为△ADE的两倍与三倍，那么，S△ADE=S梯DEGF=S梯FGBC。，由于面积之比为相似比的平方，所以AE∶AG∶AC=1∶∶。这样看来，在确定AB与AC的分点，D，E，F，G的时候，确实还比较麻烦，但仍然可以用勾股定理作出来。 该种思路总结： 这种思路是在学习了相似形之后，易想到此类方法，其原理就是相似比与面积比的关系。 以上两种是学生易想到的思路。那么是否还有其它的思路呢？ 其实：此题还有可以发散的思路。 第三种思路：综合多种原理的应用。 如下图所示： 作图说明： 把任意一个三角形ABC三边分别取中点E、F、G，连结三个中点，则可把原三角形分为4个面积相等的三角形。再把中间的△EFG单独取出将其分为三个面积相等的三角形，其方法是，在边EG上取三等分点H、I，连结HF与IF,根据等底等高的原理S△EHF=S△HIF=S△IGF 该种思路总结： 这种思路回想一下是综合了三角形的中位线性质和三角形的等底等高的性质两种原理的应用。我们平时教会学生综合运用性质知识的能力的同时，更要注重培养学生不要陷入一种思路中不能“自拔”，也许多种思考问题的角度综合运用到一道题里面会取到异想不到的效果。 第四种思路：在第三种思路的基础上继续发散。 图： 作图说明： 如上所示：我们根据第三种思路中的前半部分的作法，取三角形的三边中点，连结起来，可得4个面积相等的三角形，每一个三角形的面积为原三角形的面积的。我们把中间的三角形再用此法分割，又可得到4个面积相等的小三角形，每一个是原三角形面积的，再把中间的小三角形再用此法分割，所得小三角形的面积是原三角形的，这样反复分割几次，n次后所得的4个小三角形的面积都为原三角形面积的,我们把每一次所得的面积分数列出来让学生以观察： ，，，……， 上述一串数据有什么样的特征？实际上这是一个以为公比的等比数列，当然这个项n是一个无限值，如要计算其等比数列的和： S(n)= 再让其S(n)取极限S(n)= = 这意味着什么呢？这意味着当分割的次数n无限增大时，那么每次所得的4个三角形中各取一个加起来，面积之和将为原三角形面积的 该种思路总结： 总结这种思路，有人提出这已经超越了初中数学的知识范围，所以认为这不能算作答案。但现在我想说明不是想讨论这种方法本身应该或是不应该让学生掌握，而是想从中说明在平时的教学中，应该培养学生有意识地探究一系列地数学现象，从而去