006函数及其表示解析式(师).docVIP

专题006：函数及其表示、解析式（师） 考点要求： 1．主要考查函数的解析式的求法． 2．考查分段函数的简单应用． 3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查． 正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误．1．函数的基本概念 (1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，xA. (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，xA中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫值域．值域是集合B的子集． (3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据． 2．函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 3．映射的概念 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． ①如果一个函数在定义域的不同子集中 因 对应关系 不同而用几个不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数.分段函数的求法是分别求出 解析式 再组合在一起，但要注意各区间之间的点不重复、无遗漏。 ②如果y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f［g(x)］叫做复合函数，其中f(u)叫做外层 函数，g(x)叫做 内层 函数。 5．求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；求或已知求：换元法、配凑法；满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；．．下列各对函数中，表示同一函数的是(　　)． A．f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg xB．f(x)＝lg，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1) C．f(u)＝ ，g(v)＝ D．f(x)＝()2，g(x)＝，则＝． 3.设集合，，从到有四种对应如图所示： 其中能表示为到的函数关系的有_____②③____． 4.已知函数是一次函数，且，,则__15___． 5.设函数，，则_________；__________． 6.设函数，,则_____3_______；；． 7．（1），，； （2），，； （3），，． 上述三个对应（2）是到的映射． 例题选讲： 例1：判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射：C (1)A=R,B={x|x0}，f:x→|x|； (2)A=N,B=N，f:x→|x-2|； (3)A={x|x0},B=R，f:x→x2. [分析] (1)0∈A，在法则f下，0→|0|=0B，故该对应不是从集合A到集合B的映射； (2)2∈A，在法则f下，2→|2-2|=0B，故该对应不是从集合A到集合B的映射； (3)对于任意x∈A，依法则f:x→x2∈B，故该对应是从集合A到集合B的映射. [小结]函数是特殊的映射，即从非空数集到非空数集的映射. 例①，；②，；③，；④，．其中表示同一个函数的有③④． 分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同． 解：在①中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数； 在②中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数； ③④是同一函数． 点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可． 例3：(1)已知f＝lg x，求f(x)；，求； (3)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式． ()已知f(x)＋2f()＝2x＋1，求f(x)． 解　(1)令t＝＋1，则x＝， f(t)＝lg ，即f(x)＝lg .1) (3)由题意可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则 a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1 ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1 解得a＝，b＝. 因此f(x)＝x2＋x. ()由已知得消去f， 得f(x)＝.求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等． 例4.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出的函数解析式． 分析：理解题意，根据图