第八讲 数列求和及综合应用问题(师).docVIP

第八讲 数列求和及综合应用问题 一、知识梳理 1、求数列的通项 (1)数列前n项和Sn与通项an的关系：an＝ (2)当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用________求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)． (3)当已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用__________求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1···…·. (4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项(5)归纳、猜想、证明法． 求数列的前n项的和 (1)公式法 等差数列前n项和Sn＝____________＝________________，推导方法：____________； 等比数列前n项和Sn＝ 推导方法：乘公比，错位相减法． 常见数列的前n项和： a．1＋2＋3＋…＋n＝__________； b．2＋4＋6＋…＋2n＝__________； c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝______； d．12＋22＋32＋…＋n2＝__________； e．13＋23＋33＋…＋n3＝__________________. (2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． 常见的裂项公式有： ＝－； ＝； ＝－. (4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (5)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明　由已知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3. 又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an； 于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn. 因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列． (2)解　由(1)知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1， 于是－＝，因此数列是首项为，公差为的等差数列， ＝＋(n－1)×＝n－，所以an＝(3n－1)·2n－2. 例2、已知数列{an}，Sn是其前n项和，且an＝7Sn－1＋2(n≥2)，a1＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m.解(1)∵n≥2时，an＝7Sn－1＋2，∴an＋1＝7Sn＋2， 两式相减，得an＋1－an＝7an，∴an＋1＝8an(n≥2)． 又a1＝2，∴a2＝7a1＋2＝16＝8a1，∴an＋1＝8an(n∈N*)． ∴{an}是一个以2为首项，8为公比的等比数列，∴an＝2·8n－1＝23n－2. (2)∵bn＝＝＝(－)， ∴Tn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－). ∴≥，∴最小正整数m＝7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)，等差数列{bn}中，bn0 (n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列． (1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. 已知点(1，)是函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，数列{bn}(bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若数列{}的前n项和为Tn，问满足Tn的最小正整数n是多少？ 解(1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝x. a1＝f(1)－c＝－c， a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－，a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－； 又数列{an}成等比数列，a1＝＝＝－＝－c，∴c＝1； 公比q＝＝，an＝－×n－1＝－2×n，n∈N*； ∵Sn－Sn－1＝＝＋(n2)， 又bn0，0，∴－＝1. 数列{}构成一个首项为1、公差为1的等差数列， ＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝n2.当n≥2，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1； 又当n＝1时，也适合上式， ∴bn＝2n－1，n∈N*. (2)Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋＝＝. 由Tn＝，得n，∴满足Tn的最