4三角函数知识提要.docVIP

引言 周期现象——模型化——钟表旋转——角 （生肖、干支纪年法） 周期现象的数学模型——三角函数 角的概念 静态定义（初中） 动态定义（高中）（旋转中心与旋转方向） 边 顶点 始边 终边 角的分类 分类标准与类型 初中 按角的大小 锐角、钝角、直角、平角、周角 高中 按角的旋转方向 正角、负角、零角 按终边的位置 象限角、轴线角（坐标系背景与始边的位置） “基本角”的概念 a到b的角 a止b的角 角的集合 终边在x轴正半轴上的角的集合 终边在x轴负半轴上的角的集合 终边在x轴上的角的集合 终边在y轴正半轴上的角的集合 终边在y轴负半轴上的角的集合 终边在y轴上的角的集合 终边在坐标轴上的角的集合 终边在第一象限的角的集合 终边在第二象限的角的集合 终边在第三象限的角的集合 终边在第四象限的角的集合 的意义 不是一个区间，是无数个区间 各象限的半角、三分角的终边的位置及其记忆图 各象限的二倍角的终边的位置 阴影部分的角的集合 终边在直线y=kx上的角的集合 角的终边关系 与的终边重合 与的终边关于x轴对称 与的终边关于y轴对称 与的终边关于坐标原点对称 与的终边关于直线y=x对称 与的终边关于直线y=-x对称 角的度量 1度、1弧度的定义 角度与弧度的换算（比例法）、特殊角的弧度数 弧长公式及其推广、扇形面积公式 弧度制的意义：统一了度量弧与半径的单位，简化了有关公式及运算，为研究三角函数奠定了基础 扇形周长与面积的最值问题 任意角的三角函数 初中的三角函数定义 正弦、余弦、正切的定义 在角的终边上除顶点外任取一点P，坐标为（x，y），OP=r，则： 把叫做的正弦，记作，即； 把叫做的余弦，记作，即； 把叫做的正切，记作，即 根据定义推出三角函数的定义域和值域、（三角函数的值只与决定角大小的终边有关，与在终边上所取的点无关） 根据定义推出三角函数符号图（象限和轴） 口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 三角函数共有六个（了解） 特殊角的三角函数值 三角形内角及其半角的三角函数值的符号 若，则的终边在 0 三角函数线 有向直线的概念 对数轴、坐标轴的再认识 有向线段的概念 和有向直线平行的有向线段的方向比较 有向线段的三要素（大小、方向、起点）、数量、长度 对点坐标的再认识 坐标线的起点和终点 起点的优先顺序：原点——轴点——象限点 对三角函数定义式简化的可能性和可行性分析： 在角的终边上除顶点外任一点，坐标为（x，y），，，根据定义知三角函数的值只与决定角大小的终边有关，与在终边上所取的点无关，故可取特殊的点，使比式，，简化（分子或分母为1，以分母为1为宜） 若r为1，则所取点为角的终边与单位圆的交点，记为P，过P坐x轴的垂线，垂足为M，则，，把有向线段MP，OM分别叫做的正弦线和余弦线； 若x为1，则所取点为角的终边（或其反向延长线）与直线x=1的交点（正交、反交），记为T，又记点（1，0）为A，则，把有向线段AT叫做的正切线 三角函数线把代数问题几何化，体现了数形结合思想 三角函数线的应用 证明方程和不等式 解方程和不等式 推导诱导公式 1、证明：，， ， 2、解不等式：，， 3、解方程：，， 4、已知，求证： 5、若是第二象限的角，且，则（ ） A、 B、 C、 D、以上都不对 同角三角函数的关系 （记忆方法——用正六边形 关系类型：平方关系、倒数关系、商的关系） 最基本三角恒等式的概念与内容 应用 切化弦与弦化切 化简（化繁） 证明 思考方法：执果所因——分析法（公安局）、由因导果——综合法（法院） 操作方法：单向转化（左→右、右→左）、双向转化（左→中间、右→中间）、等价转化（左-右=0、分式化整式）、数式变换 求值 给角（特殊角）求值、给值求值（知一求二）、给式求值（知一求二） 1、已知，求、和的值 1、已知，且是第二象限角，求和的值 2、已知，求和的值 3、已知，求和的值 4、已知，且是第一象限角，求和的值 5、已知，求和的值 6、已知，求的值 7、已知，求、和的值 齐次分式 1、已知，求的值 若，，， 则，， 诱导公式 公式的形式、记忆方法（半变整不变，符号看象限）、 作用：化任意角的三角函数为锐角的三角函数（顺序：化负角为正角、化正角为基本角、化基本角为锐角） 应用：化简（化繁） 证明 思考方法：执果所因——分析法（公安局）、由因导果——综合法（法院） 操作方法：单向转化（左→右、右→左）、双向转化（左→中间