矩阵分析lecture5矩阵的标准形.pdfVIP

第五讲 矩阵的标准形 对任何线性空间，给定基后，我们对元素进行线性变换或线性运 算时，只需用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可，因此，在后 面的内容中着重研究矩阵和向量。 对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程 A Ax b 时，将矩阵 对角化后很容易得到方程的解。对角化的过程实 际上是一个去耦的过程。以前我们学习过相似变化对角化。那么，一 个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢？或者对角化需要什 么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得 简单呢？ 一、 特征征值与特征向量 A 1. 定义：对m 阶方阵 ，若存在数λ，及非零向量（列向量）x ，使 得Ax λx ,则称λ为A 的特征值，x 为A 的属于特征值λ的 特征向量。 • 特征值不唯一 • 特征向量非零 •(λI −A)x 0 有非零解，则det(λI −A) 0 ，称det(λI −A) A 为 的特征多项式，特征方程为： λE −A det(λE =−A) 0 ⎡1 2 2⎤ ⎢ ⎥ [例 1]A ⎢2 1 2 ⎥，求其特征值和特征向量。 ⎢⎣2 2 1⎥⎦ λ−1 −2 −2 [解] det(λI −A) =−2 λ−1 −2 0 −2 −2 λ−1 2 (λ+1) (λ−5) 0 λ λ −1 λ 5 1 2 3 属于特征值λ=−1 的特征向量 (−I −A)x 0 ⎡2 2 2⎤⎡ ⎤ξ ⎧ ξ ξ 1 ⎪ 1 1 ⎢ ⎥⎢ ⎥ 2 2 2 ξ 0 ξ +ξ +ξ 0 ⎨ ξ ξ 2 1 2 3 2 2 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎪ ⎢2 2 2⎥⎢ ⎥ξ ⎩ξ −ξ −ξ2 3 3 1 ⎣ ⎦⎣ ⎦ 1 0 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 可取基础解系为 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥