三角函数的最值问题 人教版.docVIP

三角函数的最值问题 王俊胜 求三角函数的最值（值域）是近几年高考的热点之一。解决这类问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图像和三角函数的恒等变形，而且还常涉及到函数、不等式、方程、几何等众多知识，其概念性强，具有一定的综合性和灵活性。 下面谈谈这方面的题型： 一、可转化为利用正、余弦函数的有界性求解的最值问题。主要有以下两种类型 （1）可将函数式化为的形式求解的问题，形如或的函数适用。 例1 已知函数，当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。 分析：本题考察逆用正弦函数的性质的能力，先将降次处理，再应用asinx＋bcosx，其中的知识，转化原函数式。 解： 当且仅当时，y取得最大值。故所求的自变量x的集合为。 解后反思：对形如的函数最值问题，需先将sinxcosx、降次，化归为的最值问题求解。 例2 求函数的值域。 分析：原函数的解析式中只含有cosx的一次式，所以可反解出cosx，再利用余弦函数的有界性求出y的取值范围。 解：由 又因 所以。 解后反思：对本题也可先将函数式变为，所以知。 （2）可将函数化为的形式求解的问题，形如或者形如的函数适用。 例3 求函数的值域。 分析：此函数的解析式与上例不同，分式中的分子含有cosx的一次式，而分母是含sinx的一次式，不能直接解出cosx或sinx，通常是化作求解。 解法1：由 得 所以 所以 因为 所以，由此解得 所以函数的值域为[－1，1] 解后反思：对此类问题也可通过几何方法来求解，现介绍如下： 解法2：由，设点P（sinx，cosx），Q（－2，0），则可看作是单位圆上的动点P与点Q连线的斜率，即。 所以。 所以函数的值域为[－1，1] 二、可转化为求二次函数在某一区间上的最值问题，典型的是 （1）形如的值； 例4 如果，那么函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 分析：因为 所以，这显然可联系二次函数的知识来源。 解： 由则当时，f(x)有最小值 ，故选D。 解后反思：对形如型的函数最值，可转化为求二次函数在某一区间上的最值问题，但需要注意新元t的取值范围。 （2）形如的最值 例5 求函数的最值。 分析：利用之间的关系，通过换元就可使原函数转化为二次函数。 解：设 则 于是 故当时，即时， 当t=1时，即时， 解后反思：函数的最值问题形同质异，需注意解法的不同。 三、转化为可利用均值不等式求解的最值 （1）函数的最值； 例6 求函数的最值。 例7 求函数的最值。 （2）函数的最值。 转化思想：由 ，从而求出函数的最值。 四、利用其它方法求解的最值问题（如单调性、判别式、图像法等） 例8 求函数的最值。 分析：此题可用单调来求解，也可以用图像法。 例9 求函数的最值。 分析：此题可通过变形成形式，再应用判别式来求最值。 五、含参数的最值问题 例10 求函数的值域。 例11 设函数的定义域为，值域为[－2，3]，求a,b的值。 分析：此类题目需对参数进行讨论。