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幾何-歐拉(Euler)圖形、全等三角形、相似三角形及三角測量 「一筆畫」問題(見徐力行(2003)p.14)-指每一條線段只能描繪一次，不得重複。 設有圖形如圖a所示，問此圖能否「一筆畫」? 　　 方法如下，將圖a中線段交點的位置編上英文字母後，見圖b，並提供一組答案，如圖c所示，讓同學瞭解「一筆畫」問題，再請同學試著練習其他解法，並記錄起點與終點位置，在不同的答案中是否有某特殊現象，有何特別之處。最後，告訴同學縁由，因為起點或終點以外的任何一點，其出入經過次數一定是偶數。此概念是由數學大師歐拉提出的。另一著名例子是，七橋問題，起因於瀕臨波羅的海一座美麗古城-哥尼斯堡(Knigsberg)被Pregel河貫穿全城，Pregel河有二條支流，於是人們建造了七座橋，見下圖。 城中居民常在飯後散步，卻發現無論怎麼走，都無法將每座橋恰好走過一遍並回到原出發點，最初許多人認為這是一件容易的事，誰都樂意去試試看，但嘗試之後發現不得其解，於是有人便跑去請教數學大師歐拉，歐拉思考後發現此一問題相當於問「起點與終點相同的一筆畫」問題，見下圖a及下圖b，因線段的交點皆是奇數且超過2個以上，故無法將每座橋恰好走過一遍並回到原出發點，後來為紀念大師歐拉稱「歐拉圖形」。 而這些內容卻是「離散數學」的重要課題，而離散數學則是資工系必修科目， (2) 全等三角形及相似三角形 (見王幼軍、金之明(1990)p.5) (2.1)全等三角形-指兩個完全相同的三角形 在國中數學的幾何單元，曾介紹全等三角形的定義，相信學生對全等三角形應該不陌生。據說，數學之父泰勒斯(Thales)應用全等的概念，計算不可到達物體的距離。 例： 求岸上一點到海中一艘船的距離，方法如下(見下圖) 設 A是觀察點，船在A的正前方P的位置，由點A在岸上做AP的垂線，在所作垂線上任意取一點B。再作線段AB的中點C，觀察者由B點沿著垂直線段AB的方向走，一路邊走邊看，直到P、C和觀察者成一條直線時停止，令D表示觀察者的位置，利用測量岸上線段BD的長度，即可求得線段AP的距離。 理由是，點是線段的中點，所以，另外，(對頂角相等)，故。因此， 。 (2.2)相似三角形 當條件放寬為相似三角形時，可適用的範疇更廣，在數學中流傳最廣的故事就是，泰勒斯到埃及旅行時，利用相似三角形原理-兩相似三角形相對應的邊長成比例，解開埃及最大金字塔的高度問題。當時，大師苦思許久仍不得其解，此時，恰有一對母女路過，因日照產生彼此大小不一的影子，而母女的高度恰與影子長短成比例關係， 泰勒斯想到可利用當木棍的影子長度和木棍本身高度相同時，金字塔影子的長度就應該是金字塔的高度，見圖7。這說明了知識的取得並非只侷限在書本上，對於生活周遭事物的關心，可能會有意想不到的結果，這或許正是你、我突破瓶頸的關鍵，但唯一不變的求學態度就是費心思考，不輕言放棄的精神。同學或許會問萬一没有陽光或是湖泊無法用影子求長度時，該怎麼辦?這是個好問題，為日後三角測量的發展開啟另一扇門。 (3) 三角測量-利用三角函數測量未知的邊長 三角函數最重要的兩個是正弦函數與餘弦函數。在直角三角形中，分別表對邊長、鄰邊長與斜邊長的比值，亦即正弦函數：，或，餘弦函數： ，見圖8。 正弦定理： 。 現今，當如下圖所示，已知公尺，，，而中間正好有一湖泊，無法直接測量的長度，請問你要如何求得之長?見圖9。 (已知，正弦定律： )， 利用三角形的內角和為，以及正弦定律，立即可得 ， 所以 公尺。 (4)餘弦定律 1.已知兩邊及夾角,求第三邊 2.已知三邊,求任一角 上圖湖泊面宽即可利用餘弦定律求得 式子為: 公尺 公尺 (5)求三角形面積:海龍公式 我們只需三角形的三邊長,就有辦法算出此三角形的面積 到底如何辦到, 海龍公式