极坐标与参数方程练习.docVIP

1．已知直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．（1）将直线l的参数方程化为普通方程，将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）判断直线l和圆C的位置关系． ，即 ………2分 圆C的极坐标方程， 即 两边同乘以得， 所以圆C的直角坐标方程为 ，即；………………………6分 （2）圆心C（1，1）到直线l：的距离 所以直线l和圆C相交。 …………………………10分 2．（本小题满分10分）已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：是参数）．（I）将曲线C的极坐标方程和直线参数方程转化为普通方程； （II）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数值． 解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为: …………2分 直线的直角坐标方程为： …………4分 （Ⅱ）（法一）由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R＝2， 圆心到直线l的距离 …………6分 …………8分 或 …………10分 （法二）把（是参数）代入方程, 得, …………6分 ． …………8分 或 …………10分 3．（本小题满分10分）已知直线的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．将曲线C的参数方程化为普通方程； 若直线l与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长． ：⑴…………5分 ⑵将代入，并整理得 设A，B对应的参数为，，则， …………10分 ： （t为参数）， C：（为参数）。 （Ⅰ）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到 直线 （t为参数）距离的最小值。 解：（Ⅰ） 为圆心是（，半径是1的圆． 为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． （Ⅱ）当时， 为直线 从而当时， 5．（本小题满分10分）已知直线l经过点，倾斜角，圆C的极坐标方程为 （1）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程； （2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积. 解：（1）直线l的参数方程为 即（t为参数） …………2分 由 所以 …………4分 得 …………6分 （2）把 得 …………8分 6.（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系内，点 在曲线C：为参数，)上运动．以为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．() 写出曲线C的标准方程和直线的直角坐标方程； () 若直线与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求面积的最大值． 解：（1）消去参数，得曲线C的标准方程： 由得：，即直线的直角坐标方程为： （2）圆心到直线的距离为，则圆上的点M到直线的最大距离 为(其中为曲线C的半径)， ．设M点的坐标为，则过M且与直线垂直的直线方程为：，则联立方程， 解得，或，经检验舍去． 故当点M为时，面积的最大值为 (为参数)和直线(其中为参数，为直线的倾斜角)，如果直线与圆有公共点，求的取值范围. 解：圆的普通方程为： 将直线的参数方程代入圆普通方程，得 关于的一元二次方程有解 所以 或 因为 所以 8．（本小题满分10分）已知曲线（为参数），曲线（t为参数） （1）若，求曲线C2的普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）曲线C1和曲线C2的交点记为M，N，求|MN|的最小值。解：（1） 为参数） 曲线C2的普通方程是 …………2分 它表示过（1，-1），倾斜角为的直线 …………3分 （2）解法一，曲线C1的普通方程为 …………5分 设G（-1，1），过G作，以下证明 此时|MN|最小 过G作直线，与MN不重合 在中， ……8分 此时，……10分 解法二：曲线C1的普通方程为 …………5分 将代入中 得 …………7分 …………9分 当时，|MN|最小 …………10分 ．（本小题满分10分）已知曲线C的极坐标方程 是=1，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数）。 （1）写出直线与曲线C的直角坐标方程； （2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线，