极限与导数复习.docVIP

极限与导数复习 一．数学归纳法及应用举例： 1．重点难点分析： （1）数学归纳法的第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，两个步骤密切相关，缺一不可． （2）归纳思想充分体现了辩证唯物主义的特殊与一般的思想，是数学的基本思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想． （3）归纳——猜想——证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的． （4）数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较法，放缩法，配凑法，分析法和综合法等． 2．典型例题： 例1．用数学归纳证明： =-n(n+1)(4n+3)． 证明：①当n=1时，左边，右边=-1(1+1)(4+3)=-14，等式成立． ②假设n=k时等式成立， 即=-k(k+1)(4k+3)． 那么n=k+1时， +[(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2] =-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2) =-(k+1)[4k2+3k+2(6k+7)]=-(k+1)(4k2+15k+14) =-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3]，等式也成立． 由①②知，当n∈N′时等式成立，∴原命题成立． 例2．试证Sn=n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除． 证明：①n=1时，S1=4×9，能9整除． ②假设，n=k时，Sk能被9整除，则Sk+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=Sk+(k+3)3-k3=Sk+9(k3+3k+3)　　由归纳假设知Sk+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立． 综上所述：命题成立． 点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除． 例3．通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n2-n+2)个部分． 证明：设适合条件的n个平面把空间分成pn个部分，∴pn=n2-n+2 ①当n=1时，p1=1-1+2=2，显然符合条件，故命题成立． ②假设当n=k时，命题成立，即满足命题条件的k个平面把空间分成pk=k2-k+2个部分， 那么当n=k+1时，即如果再有一个平面a适合条件，那么，在平面α上必有k条交线， ∴平面α被分成2k个部分，∴pk+1=pk+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2． ∴当n=k+1时，pn=n2-n+2成立．综上①②可知对任何n∈N′，命题成立． 点评：几何计数问题应抓住所划分的线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等． 例4．若不等式对一切正自然数n都成立，求自然数a的最大值，并证明你的结论． 证明：n=1时，，即，所以a26，而a∈N，所以取a=25，下面用数学归纳法证明：． (1) n=1时，已证．(2) 假设当n=k时，有：， 则当n=k+1时，有 所以①②知对一切n∈N′ 都有：． 例5．在数列{an}中，已知a1=-lga, an-1=an-lgan-1 (n≥2)，先求出a2,a3,a4，观察所得结果，推测{an}的通项公式，并用数学归纳法证明． 解析：因为an-1=an-lgan-1 (n≥2)，所以an=an-1+(n-1)lga (n≥2)， 又a1=-lga, 所以a2=a1+(2-1)lga=-lga+(2-1)lga=(-1+2-1)lga, a3=a2+(3-1)lga=(-1+2-1+3-1)lga, 　　a4=a3+(4-1)lga=(-1+2-1+3-1+4-1)lga． 由此推判． 下面用数学归纳法证明． （1）n=1时，，猜想正确． （2）假设n=k时，猜想正确，即， 则，即n=k+1时，猜想也正确． 由（1）（2）知，对于任意n∈N′，都有． 二．函数的极限及函数的连续性、函数的导数： （一）重点难点分析： 1．　① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限． ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限． ③ 函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续． ④ 计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则． ⑤ 若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值． 2．导数的定义、意义与性质： （1）函数的导数：对于函数f(x)，当自变量x在x0处有增量Δx，则函数y相应地有改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，这两个增量的比叫做函数y=f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率，即．如果当Δx→0时，有极限，我们说函数在x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x0处的导数（或变化率）．记作