计算方法期末考查.docVIP

盐城师范学院 2012- 2013学年 第二学期 《计算方法》期末考查论文 班级 116班 学号 姓名 姜素清 成绩年?月? 我对拉格朗日插值法的认识 引言 许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解。如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。 二、原理 拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件： (1)在闭区间[a,b]上连续； (2)在开区间（a,b）内可导. 则在（a,b）内至少存在一点，使得=。 对于此定理的证明，无论是教材还是许多从事教学研究的学者，普遍采用的一般方法是通过曲线弧与弦的坐标差构造辅助函数F(x)= +(x-a)，可以验证F(x)满足罗尔中值定理的条件,利用罗尔中值定理可得出结论.由于构造辅助函数的思路不同,因此拉格朗日中值定理通过构造辅助函数的证法也有很多种.也有少数有创新的学者另辟奚径，采用闭区间套定理证明的方法。本文则总结了常用的辅助函数法：原函数法；待定系数法；作差法；转轴法；行列式法。并在这些基础之上，又做出了两种证明方法：曲线的纵坐标与过原点平行于弦的直线的纵坐标之差法；平行四边形面积法。在参阅别人用闭区间套定理证明法的基础之上，做出了一种新的证明方法。最后对构造辅助函数法与闭区间套定理证明法作了分析。 拉格朗日插值法深入理解 设函数y=f（x）在给定的互异节点x0 ，x1的函数值为y0，y1，做一个次数n≤1的多项式 P1（x）= a0 +xa1 使它满足 P1（x0）= y0 ；P1（x1）= y1 这里所定义的插值问题便是线性插值，也就是拉格朗日一次插值。线性插值虽然计算方便，但由于它是用直线去代替曲线，因而一般要求插值区间较小，且在区间上变化比较平稳，否则误差可能很大。所以，为了克服这一点问题，就用简单的曲线去近似地替代复杂曲线。 设函数y=f（x）在给定的互异节点x0，x1，x2的函数值为y0，y1，y2，做一个次数n≤2的多项式 P2（x）= a0 +xa1+x2a1 这里所定义的插值问题便是抛物线插值，就是拉格朗日2次插值。其意义就是过曲线y=f（x）上的3点（x0 ，y0），（x1 ，y1），（x2 ，y2）作一抛物线来近似替代y=f（x）。 对于P2（x）的构造，其实质就是拉格朗日2次插值的解可以表示为插值函数L0（x），L1（x）和L2（x）的线性组合，其组合系数为y0，y1，y2，即 P2（x）= y0 L0（x）+ y1L1（x）+ y2 L2（x）。 其中， L0（x）=（x -x1）（x–x2）/[（x0-x1）（x0–x2）] L1（x）=（x–x0）（x–x2）/[（x1–x0）（x1–x2）] L2（x）=（x–x0）（x–x1）/[（x2–x0）（x2–x1）] 线性插值和二次插值多项式的拉格朗日构造法可以推广到n次插值的情形，但随着n变大，则插值节点的个数也增加。插值多项式的次数越来越高时，这类高次插值的稳定性就越差，对于计算过程中的误差十分敏感，有时误差反而更大，这种高次插值的不稳定现象被称之为龙格现象，在实际应用中，一般不采用8次以上的拉格朗日插值，所以对于多个节点，在实际应用中一般采用分段低次插值。 三、方法综述 （一）插值问题的数学提法 已知函数在n+1个点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值?????? yi=f(xi), (i=0,1,…,n)  求一个简单函数y=P(x),使其满足:??????? P(xi )=yi ,(i=0,1,…,n) 。 即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点： ????? (x0 ,y0 ),(x1 ,y1 ),…,(xn ,yn ), 同时在其它x∈[a,b]上要估计误差:???????????? R(x) = f(x) - P(x)  其中P(x)为f(x)的插值函数，x0 ,x1 ,…,xn 称为插值节点，包含插值 节点的区间[a,b] 称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。 若 P(x)是次数不超过n的代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的 插值 法称为多项式插值。若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。若P(x) 是 三角多项式