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利用拉格朗日插值法解决传热过程中的导热系数 作业人姓名：。。。。。。 班级：090420 学号：090420317 【摘要：】“学以致用”是每一门学科都致力追求的境界，数学自然也不例外。可人们往往淹没于一堆高深的数学理论及烦琐的分析、论证之中，早已失去了数学的乐趣!特别是用数学来解决实际的问题更是感到无所适从。我们知道化学工程手册中通常给出的导热系数是离散数据，而此数据误差较大。为了减小导热系数的误差。本文试图结合传热过程中的传热系数这个实际问题阐明拉格朗日插值法的原理及其应用，并与常用的几种方法如几何平均法、代数平均法相比较，从而得到拉格朗日插值所得到的导热系数的误差小，准确度高。 【关键词：】拉格朗日；导热；系数；算法 1 前言 在化学工程常使用手册查询导热系数，手册中通常给出的是离散数据，例如表1为不同温度（t）下苯的导热系数（r）。 表1 不同温度（t）下苯的导热系数（r） t/℃ 0 46 100 184 212 r(w/m. ℃) 0.0090 0.0126 0.0178 0.0263 0.0305 若在传热过程中需要用表1中数据求的160℃的r，因表1中并为直接给出该温度下苯的导热系数，t和r之间的关系又无法以解析式表达，所以通常采用代数，几何平均法或者对数平均法，但我们所得到的r误差较大，并且在化工生产过程中造成了一定的热量损失。因此我们希望探索新方法求得导热系数r减小误差，降低传热过程中的能量损失。 2算法描述 2.1算法的原理 在生产实际及科学实验中，经常要研究变量之间的函数关系，但是在很多情况下，有恨难找到具体的函数表达式，往往只能通过测量或者观察，获得一张数据表，即 x x0 x1 … xn y y0 y1 … yn 这种用表格形式给出的函数，就无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的分析性质，如函数的导数及积分等。有的虽然能给出一个函数的分析表达式，但式子很复杂，不适合使用。为了解决这些问题，我们设法通过这张表格求出一个简单函数P（x），使得P（xi）=yj（j=0,1，….n）,这种求P（x）的方法称为插值法。 对于给定的函数关系见表2. x x0 x1 x2 … yn y=f(x) y0 y1 y2 … yn 其中f（x）在区间[a,b]上连续并有意义，x0x1x2x3…xn为区间[a,b]上n+1个互不相同的点，要求在一个性质优良便于计算的函数{F（x）}中，选出一个使yi= F（xi）（i=0,1,2，…n） 的函数F（x）作为f（x）的近似，称F（x）为f（x）的插值函数，点xi为插值节点。 一般选用K个节点，须构造K-1次拉格朗日插值函数（K= 2,3，…,n）. 要构造拉格朗日型插值函数，首先在节点上构造出K次插值基础数,并且和性质。 下面以的构造为例，说明插值基函数的构造。 由于均为的零点，因此可设 而。 故。 同理。 K- 1次插值基函数为 2.2 算法思想 设已知y = F(x)的函数表(xi， F(xi)) (i = 0,1,2… n) 设置双重for循环，内层for循环以j的值为循环条件，计算插值基函数? ，外层for循环以k的值为循环条件，将插值基函数的值与函数值的积进行累加，最终求得拉格朗日多项式的值。 2.3 应用 以前面提到的苯为例，求160℃下的r值 表3 不同温度下苯的导热系数r ℃ r(w/m. ℃) 根据表3中所给出的值，看确定为共有5个节点，能构造4次插值函数 首先构造 而故 同理可构造可以求得 这样，4次插值函数 也就是说用拉格朗日插值法求得的苯在160℃下得导热系数为0.0236（w/m. ℃）。 3.算法仿真 下面分别用C语言程序和Matlab程序来仿真，并计算出拉格朗日插值多项式在r=160℃时函数的近似值。 C语言程序如下： #includestdio.h Float lagrange(float x[],float y[],float,xx,int n { Int i,j; float *a,yy=0; a=new float[n]; for(j=0;j=n-1;j++) if(j!=i)a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]); yy+=a[i]; } delete a; return yy; } Void main() {float x[5]={0,46,100,184,212}; float y[5]={0.0090,0.0126,0.0178,0