凸复合多目标优化问题的二阶最优性条件.pdfVIP

第 25卷 第 3期 河北师范大学学报 (自然科学版) Vo1．25No 3 2001年 9月 JournalolHebeiNormalUniversity(NaturalScienceEdition) Sep．2001 凸复合多目标优化问题的二阶最优性条件 杜廷松 ：， 赘浦生、， 王浚蛉 1武设太学 数学与计算机科学学院，带北 武涩 430072；2三峡太学 理学院．湖北 宜昌 443000) 摘 要 ：研究丁闭凸约束下凸复台多目标优化的最优性条件，利用标量凸复台优化问题的最近结果t获得 了二阶必要条件；井且通过把标量化问题转化为带有非有限值凸函数的凸复台优化问题t导出了二阶充分条件． 关键词 ：多目标优化 ；晟优性条件；广义二阶方向导数 中图分类号：0221．2 文献标识码：A 文章编号 2001 考虑下列凸复合多 目标优化问题 (P)： V— min(，。(’L())，… ， (， ()))， ∈C， 其中C是 Banach空间x 的一个非空凸子集，函数 ：R 一 R凸，= 1，…，户，函数 ，： 一 局部 Lipschitz，i一 1，… ，户． 在文献[1]中，笔者 已讨论了凸复合多目标优化问题 ，根据非空内点条件的假设下一对问题 (P)的弱 有效解给出了一阶最优 陛条件．本文中．笔者进一步研究问题 (P)．同时利用文献[2：中的结果，导出了 问题 (P)的一个二阶必要条件，把文敬-1]中的一阶充分条件直接推广，获得了问题 (P)的一个二阶充 分条件． 由于带有非有限值函数凸复合优 {LIS7题的二阶必要条件仅在有限维空间中有效 ，因此．假设 一 ． 此外，还需要下面一些假设： 1)F = F ．i= 1，… ， ： 2)设F()= (，(z)，…， (z))， ：R 一R(，：1，…，m)为实值二次严格可做函数，即对每个 ， 存在一个nXn矩 阵DF (z)，使得 lim -I~J(y+Slg—tv)一FJ(y+ “)一F (+tv)+ ’()] = “DF(z)， Dz ()称为 在 处二阶严格可导． 固定 ∈RL，考虑问题 (P)的标量化问题 (P(^))： 上 min∑ (F，())，z∈C． ， t 设g(Y。， 一，)一3c()+∑^ ()：R ×Ⅱ 一Rn{+。。}， — I G()一(，F()，…，，())：R斗R ×jlR． 其中d(。)是指标函数，g是一个下半连续 凸函数，G为二次严格可微，即G的每个分量是二次严格可微 的，则(P(^))转化为在文献[2] 4]中研究过的凸复合极小问题 (cP)： ming(G())． ∈ R ．G(z)∈dom (g)． 另外 ，(cP)的Lagrangian函数，临界锥 (criticalcone)及乘子集分别定义如下： L(x，)： (，G(z))一 g )， V ∈dom (g )， K (z)= {“∈R ：g(G(z)一 tvG(x)u)≤ g(G())．t 0}． 收稿 日期 ：2001—04—09 基金项 目 国家 自然科学基盘资助项 日(202001036)：湖北省教委基金资助项 目(99C027)：三魄大学科研基盘资助项 目(KJC01091 怍者简介 ：桂廷橙(1969 )．男．湖北利，1l』、．武涩大学数学与计算机科学学院硬士生．研究方向 最优化理论与算法 第 3期 杜廷松等：凸复合多目标优化问题的二阶最优性条件 307 L。()一{∈R ×ⅡR：∈ag(G())，VG(x) 一0)． 1 主要结果 DF )M] 设 “DzF(a)u— l e，其中n×n矩