连续函数的零点.docVIP

连续函数和光滑函数的零点 摘要：在本文中，首先讨论了连续函数的零点，证明，连续函数的零点构成的集合可以指定为任意闭集；然后，讨论了无限阶可导函数即光滑函数的的无限阶零点，证明了，无限阶的零点构成的集合也可以指定为任意闭集. 关键字：连续函数，光滑函数，零点，闭集 中图分类号：O ? 设是连续函数，，则是闭集，那么，对于的任意一个闭集，是否存在，使得的零点构成的集合恰为呢？答案是可以证明如下首先，需要两个结论：(1) 的任意开集都是可数个两两不相交的开区间；(2)任意有限的开区间都存在连续的函数，满足在该区间上对任意. 是闭集，这样是开集，由(1)得，有一组开区间，是一个自然数集满足对于不同的，不相交。由(2)，对于这组区间中的有限区间，定义函数， 对于两边的可能的无限区间，定义在有限的那个点定义为零 对于中的点，全部定义为零，这样我们就定义了一个在定义 这个函数的零点构成的集合为，下面证明在上连续. 记，则, ,表示所有正实数构成的集合 若，由定义，明显在该点处连续 若，若存在的一个邻域，，则在该邻域为常值函数0，所以，在该点处连续；若不存在这样的邻域，则对于的任意一个邻域，都有点，即，则对于的任意一个形如的邻域，都有，由于，，所以，或，设，，则，由于当，如果，则，从而，，中必有一个是，不妨说是，则任意形如的开区间，存在使得. 给定，由于，所以，有某个使得，若这个对任意，都有，则必是的左端点，由定义知道在右侧是连续的；若对于任意满足的，都有这个的对某个是的，那么，由于，必有有另一个满足，由于，所以，必有，对于任意正数，上面的取的满足，则，对任意成立，所以，我们得到在点是右连续的. 现在我们来考虑左侧的情况. 若，则类似于上面的讨论，我们得到在是左连续的；若，则有某个正数有，所以，，这样在上是常值函数，是左连续的. 在上是连续的. □ ?? 这里还有很多问题可以提出来：若是无限阶可导函数，，则是闭集，那么，对于的任意一个闭集，是否存在，使得恰为呢？ 此处的常数 命题1，在上无限阶可导函数. 证明：如果或者，则明显在此处为无限阶可导；只要讨论在处的情形即可，看处的情形. 在处右导数明显为0，只要看左导数就可以了. 另外还有，这是因为 类似地可以看出，所以在上存在且连续. 假设在上存在且连续，由于在处任意阶导数都存在，且，这里是一个分式，所以， 这对于任意自然数都成立.所以， 类似地讨论当时的情形，所以，在上存在且连续. 所以，对于任意都有在上存在且连续，所以，在上无限阶可导. □ 定义2，设在的上界为. 命题2， 证明：只要看在上的情况即可，设，则 ，从而 所以，，然后，再取积分得到 ，依次类推得到 当时得到 令代入上式得到 得到 所以， □ 命题3，对任一个固定的，有 这个命题证明起来较为复杂，我们证明这个命题的基本思路是：首先，将的结构作更多的了解；然后，对这个构成的每个部分都估计出上界；最后，对这个估计出的上界，证明其极限为零，下面我们就按照这个思路来执行. 引理1，可以表示为的形式，这里是关于的次的多项式，且满足以下递推关系： ， 证明：对中作归纳法 当时，结论显然成立 当时，容易验证符合命题要求 假设对命题成立，则， 展开得到 将代入上式得到 故命题成立 □ 定义3，定义函数 引理2，当时，取最大值；当时，取最大值 证明：只要看当的情形即可 设，则，，从而， 从而，有命题的结论 □ 以上估计出来一部分的上界，下面估计另一部分，多项式的部分 定义4，设为关于的实系数的多项式，那么，表示系数绝对值的最大值.关于有如下性质： (1) ，这里表示将系数变为其绝对值得到的多项式 (1) (2) (3) 这些性质的证明，只要根据定义就可以证明，下面利用这些性质来估计的上界 所以，我们得到 这样我们就有 这样我们就得到 引理3，在上有界，且有 接下来，我们就可以证明命题3了 由引理1得 所以，对任意一个固定的成立 □ 接下来，我们就可以证明我们开始时候提出的问题了，若是无限阶可导函数，，则是闭集，那么，对于的任意一个闭