整体的方法.docVIP

整体的方法 我们知道成语“一叶障目”和“只见树木，不见森林”，它们的意思是说，如果过分关注细节，而忽视全局，我们就不会真正理解一个问题． 解数学题也是这样，在加强对局部的研究与分析的基础上，从整体上把握问题．所谓整体方法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理． 整体方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面有广泛的应用，整体代人、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体运用． 例题求解 【例1】 若x、y、z满足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001，则分式的值为 ．(安庆市竞赛题) 思路点拨 原式=，视x+3 y与x+y+z为两个整体，对方程组进行整体改造． 【例2】 若△ABC的三边长是a、b、c且满足，，，则△ABC是( ) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 三个等式结构一样，孤立地从一个等式入手，都导不出a、b、c 的关系，不妨从整体叠加入手． 【例3】 已知，求多项式的值． 思路点拨 直接代入计算繁难，由已知条件得，两边平方有理化，可得到零值多项式，整体代入求值． 【例4】如图，凸八边形AlA2A3A4A5A6A7A8中，∠Al=∠A5，∠A2 =∠A6 ，∠A3 =∠A7 ，∠A4=∠A8，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值． (山东省竞赛题) 思路点拨 将八边形问题转化为熟悉的图形来解决，想象完整四边形截去4个角就得到八边形，就可知向外作辅助线，关键是证明对边平行． 【例5】已知4×4的数表，如果把它的任一行或一列中的所有数同时变号，称为一次变换，试问能否经过有限次变换，使表中的数全变为正数? 思路点拔 若按要求去实验，则实验次数不能穷尽，每次变换只改变表中一行(或一列)中4个数的符号，但并不改变这4个数乘积的符号，这是解本例的关键． 注 由“残部”想“整体”，修残补缺，向外补形，恢复原形，将其拓展为范围更广的、其特征更为明显，更为熟悉的几何图形，这是解复杂几何问题的常用技巧． 从整体上考察问题的数量性质、表现形式是对整体上不变性质、不变量的特性的把握． 学历训练 1．如果，则= ． ( “希望杯”邀请赛试题) 2．已知，那么= ． (2001年武汉市中考题) 3．已知是实数，且满足，那么的值是 ． (河南省竞赛题) 4．如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE且AB=DE，BC∥EF且BC=EF，AF∥CD且AF=CD，∠ABC=∠DEF=120°，∠AFE=∠BCD=90°，AB=2，BC=1，CD=，则该六边形ABCDEF的面积是 ． 5．已知，，则的值为( ) A．3 D．4 C． 5 D．6 (2003年杭州市中考题) 6．买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本需58元；则买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本需( ) A．20元 B．25元 C ．30元 D．35元 (江苏省竞赛题) 7．已知a1，a2，…a2002均为正数，且满足M=( a1+ a2+…+ a2001)( a2+ a3+…+ a2001－a2002)，N＝(a1+ a2+…+ a2001－a2002) (a2+ a3+…+ a2001)，则M与N之间的关系是( ) A．MN B．MN C．M＝N D．无法确定 (2002年绍兴市竞赛题) 8．已知，且，则等于( ) A．105 D．100 C．75 D．50 (北京市竞赛题) 9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这10个自然数填到图中10个格子里，每个格子只 填一个数，使得“田”字形的4个格子中所填数字之和都等于P，求户的最大值． (江苏省竞赛题) 10．如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°，∠E=80°，求∠F的度数． 11．设，，则的值等于 ． ( “希望杯”邀请赛试题) 12．已知，，则2= ． (湖北省数学竞赛题) 13．若，，则的值是 ． 14．正数x1、x2、x3、x4、x