幂级数在近似计算中的应用.docVIP

幂级数在近似计算中的应用 摘要：形如的函数项级数称为幂级数,幂级数可以看成是一个“无限次多项式”，它无论在理论上还是实践上都是一个有力的工具.本文主要运用幂级数的展开式,对无理数等，利用计算机相关软件，进行近似计算. 关键词：幂级数、近似计算 理论依据 以某个幂级数展开式为基础，然后把所需要求的量表达成无数级数的和，并依据要求，选取部分和作这个量的近似值，误差用余项估计。 我们先给出一些基本初等函数的幂级数展开式及它们对应的余项 2. ⑴由函数的幂级数展开式知 （1） 等式的右端是一个交错级数且是收敛的，实际计算时，我们只能使用有限项。如果取级数前n项之和作为的近似值 即，其误差为 ， 为了保证误差不超过，就要取级数（1）的前20000项进行计算，计算量之大可以想象.它的收敛速度很慢.对于展开式而言，当越小收敛越快，恰恰在端点收敛最慢. 以下取的求和的级数相应它的收敛速度要稍快些. ②现若取带入展开式得 （2） 若取级数的前n项和作为的近似值，其误差为 下面实现(2)式的计算，若要求误差小于，计算的程序见附录1 当n=8时， ③现取，，显见，记，而 ，所以，就是 (3) 下面实现(3)的计算，若要求误差小于，计算的程序见附录2 当n=7时， ⑵对于的展开式而言，取 (4) 下面实现(4)的计算，若要求误差小于，计算的程序见附录3 当n=4时， 综上，知当误差确定时，对相同的幂级数展开式，x的取值不同，近似计算的精确程度也不同，对不同的幂级数展开式结果亦然. 3.数的近似计算 当=1时， 所以取作为近似值，则误差 例如:精确到，则需要(见附录4) 扩广:利用幂级数推导是无理数 反证法:假设是有理数，则 等式左边是一个整数，右端第一项是整数，而k是小数；即右端不是整数，矛盾. 故是无理数. 3.对数的计算 利用对数的幂级数展开式，作对数的近似计算。根据对数的特征，只要计算出正整数的特征，那么由对数的运算，其它有理数的对数也就知道了. 以ln(1+x)的麦克劳林级数作为出发点 当取前n项作为其近似值，其误差 如要精确到就要截取一万项来计算，另外上面的展开式的收敛域为,这就不能直接用它来计算其它整数的对数. 下面用一个收敛较快的幂级数来计算 这是一个递推公式，所以据此可求任何正整数的对数，相应的也可求有理数的对数. 如此进行下去，可得ln6,ln7,…的值 利用上述计算方法，通过换底公式，我们可以计算得到了的一些近似计算结果并与数学用表中值进行比较（见表） 表 的幂级数近似计算结果与数学用表中数值的比较 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 幂级数 算 0 0.30103 0.47706 0.60206 0.6987 0.77809 0.84504 0.90090 0.95412 1 数学用 表 0 0.3010 0.4771 0.6021 0.6990 0.7782 0.8451 0.9031 0.9542 1 通过此表，知幂级数作为近似计算的工具，结果与真实值很相近. 参考文献 [1] 董延闿.级数[M].上海:上海科学技术出版社,1982. [2]华东师范大学数学系.数学分析.[M].北京:高等教育出版社,1999 [3]周晓阳.数学实验与Matlab.武汉:华中科技大学出版社,2002 附录 1.s=0;n=1; ps=pi; while abs(s-ps)1e-4 s=(-1)^(n-1)*2*3^(1/2)/[(2*n-1)*3^(n-1)]+s; n=n+1; end s,n 程序所得结果为s=3n = 8 即为使计算结果精确到小数后第四位，只需求对应级数前7项的和 利用Matlab软件算得 syms k symsum((-1)^(k-1)*x^(2*k-1)/(2*k-1),k,1,8) ans = x-1/3*x^3+1/5*x^5-1/7*x^7+1/9*x^9-1/11*x^11+1/13*x^13-1/15*x^15 syms k f=6*(-1)^(k-1)*(1/sqrt(3))^(2*k-1)/(2*k-1) symsum(f,k,1,7) 结果为 ans = 32. s=0;n=1; ps=pi; while abs(s-ps)1e-4 s=4*(-1)