常微分方程主要内容复习.pptVIP

可分离变量的微分方程 齐次方程 如果一阶微分方程 可以化成 的形式，则称此方程为齐次微分方程． 这类方程的求解分三步进行： （1）将原方程化为方程 的形式． （2）作变量代换 以 为新的未知函数（注意， 仍是 的函数），就可以把齐次微分方程化为可分离变量的微分方程来求解． 由 ，得 两端求导，得 代入方程中，得 一阶线性微分方程 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线性微分方程 二、 常系数线性齐次微分方程解的结构 三、 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 二阶常系数非齐次线形微分方程 二阶常系数非齐次线形微分方程的一般形式为： 当 时，二阶常系数非齐次线形 微分方程具有形如 的特解，其中 是与 同次（m次）的多项式，而k按 是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2。 当 或 时， 由欧拉公式知道， 和 分别是 的实部和虚部。 而方程 具有形如 的特解，其中 是与 同次（m次）的多项式，而k按 是不是特征方程的根、是特征方程的单根依次取0或1。 方程 和 的特解分别是（9）式的特解的实部和虚部。 欧拉方程 形如 的方程称为欧拉方程，其中 为常数。 欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同。 解法：作变量替换 将自变量x换成t，则有 如果采用记号D表示对自变量t的求导运算 则上述结果可以写为 将上述变换代入欧拉方程，则可化为以t为自变量的常系数线性微分方程，求出该方程的解后，把t换为 ，即得欧拉方程的解。 * 第六章 常微分方程 * 第六章 常微分方程 微分方程的基本概念 含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程； 未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程; 未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程； 微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶. 能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解. 微分方程的解、通解与特解 如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解. 不包含任意常数的解为微分方程特解. 1．定义 形如 的方程称为可分离变量的方程. 特点 -- 等式右端可以分解成两个函数之积，其中一个只是x的函数，另一个只是y的函数 2．解法: 两端积分得通解: 这是变量可分离的微分方程．分离变量并积分，得 （3）求出积分后，再以 代回，便得到所求齐次方程的通解 形如 的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)，Q(x)是连续函数，且方程关于y及 是一次的，Q(x)是自由项. 为一阶线性非齐次方程， 为一阶线性齐次方程. 一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下: 1.先求 的通解： 分离变量后得 化简后，方程(2)的通解为 其中C为任意常数. 2.利用“常数变易法”求线性非齐次方程(1)的通解： 设 是方程(1)的解，其中C(x)为待定常数, 将(4)式求其对x的导数，得 代入方程(1)中，得 化简后，得 将上式积分，得 其中C为任意常数. 把(5)式代入(4)式中，即得方程(1)的通解为 通过把对应的线性齐次方程的通解中的任意常数变易为待定函数，然后求出线性非齐次方程的通解，这种方法称为常数变易法. 的方程，称为二阶线