常微分方程试卷-湖北师范学院精品课程网.docVIP

常微分方程参考试卷(8) 一、选择题 1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个．（A） （B）-1 （C）+1 （D）+2 2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件． （A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）必要非充分 3. 方程过点共有（ ）个解． 　（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三 4．方程（ ）奇解． （A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个 5．方程的奇解是（ ）． （A） （B） （C） （D） 二、计算题 1.x=+y 2.tgydx-ctydy=0 3. 4. 5. 三、求下列方程的通解或通积分 1. 2. 3. 四．证明 1.设，是方程 的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C． 2．在方程中，已知，在上连续．求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切． 试卷答案 一、选择题 1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 二、计算题 解：将方程改写为=+ （*） 令u=,得到 =x+u,则(*)变为x=, 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln+lnC, 故方程的解为arcsin=lnCx。 解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)=-ln+C或sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k(k=0、1…) ，x=t+(t=0、1…)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。 3. 方程化为 令，则，代入上式，得 分量变量，积分，通解为 原方程通解为 4．解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 + 5．解 因为，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通积分为 即 三、求下列方程的通解或通积分 1．解 当时，分离变量得 等式两端积分得 方程的通积分为 2．解 令，则，代入原方程，得 ， 当时，分离变量，再积分，得 ， 即通积分为： 3．解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 + 四．证明 1.证明 设，是方程的两个解，则它们在上有定义，其朗斯基行列式为 由已知条件，得 故这两个解是线性相关的． 由线性相关定义，存在不全为零的常数，使得 ， 由于，可知．否则，若，则有，而，则，这与，线性相关矛盾．故 2．证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是． 显然，该方程有零解． 假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切，即有= 0，那么由解的惟一性及该方程有零解可知，这是因为零解也满足初值条件= 0，于是由解的惟一性，有 ．这与是非零解矛盾． 1