常微分期末考试试题.docVIP

常微分期末考试试题 Pa42 1.(8) (10) 2.(1）(4） Pa60 1.(1) (2) 2.(1) (2) (4) (5) Pa88 1.2.3 pa111 1.(1) (2) Pa132 7 Pa164 2.(6) (8) (9) (13) (14) (15) Pa182 2.(2) (3) pa244 2. 4.(1) (2) 8.解下列方程，并求奇解（如果存在的话）： 1、 解：令，则， 两边对x求导，得 从得 时，； 从得 ， 为参数，为任意常数. 经检验得 ，是方程奇解. 2、 解：令，则， 两边对x求导，得 ， 解之得 ， 所以， 且y=x+1也是方程的解，但不是奇解. 9.试证n阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线形无关解。 证：设为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，是（4.1）的一个解，则： （1），均为（4.1）的解。同时（1）是线形无关的。 事实上：假设存在常数，使得： （*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！ 从而有 又为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组， 故有： 即（1）是线形无关的。 求下列常系数线性微分方程： 　1. 解：特征方程有根2,两重根1 齐线性方程的通解为x= 又因为0不是特征根，故可以取特解行如代入原方程解得A=-4，B=-1 故通解为x=-4-t 2. 解：特征方程有复数根 故齐线性方程的通解为 取特解行如代入原方程解得A= 故通解为 3. 解：特征方程有根-2,1 故齐线性方程的通解为x= 因为+-2i不是特征根 取特解行如代入原方程解得A= 故通解为x= 　 4. 解：特征方程有根-1+i,-1-i 故齐线性方程的通解为 不是特征方程的根, 取特解行如代入原方程解得A= 故通解为+ 5. 解：特征方程有根i,- i 故齐线性方程的通解为 ,i,是方程的解 代入原方程解得 A= B=0 故 代入原方程解得 A= B=0 故 故通解为 11.试证：如果是=Ax满足初始条件＝的解，那么 ＝[expA(t-t)] 证明：由定理8可知＝Ф(t)Ф-1(t0) ＋Ф(t) 又因为Ф(t)= expAt , Ф-1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0, 又因为矩阵 （At）·（- At0）=（- At0）·（At） 所以 ＝[expA(t-t)] 12.试求方程组=Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中A为： a） b） 解：a）det（E－A）=0得＝，＝－ 对应于的特征向量为u＝， （ 0 ） 对应于的特征向量为v＝， （ ） ∴u＝，v＝是对应于，的两个线性无关的特征向量 Ф(t)=是一个基解矩阵 ExpAt= 由det（E－A）=0得＝5，＝－1 解得u＝，v＝是对应于，的两个线性无关的特征向量 则基解矩阵为Ф(t)＝ Ф(0)＝ Ф－1(0)＝ 则expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝