概率论试题及答案.docVIP

计算题 1．（12分）设随机变量与的联合分布律为 η ξ 0 1 0 1 已知事件与相互独立， 试求： 常数a, b的值；（本小题4分） ；（本小题4分） 的分布律。（本小题4分） 解：（1） 1’ 由于事件与相互独立，得到 1’ 解得。 1’ 利用规范性，得到 1’ （2）； 4’ （3） 0 1 P 4’ 2．（15分）已知随机向量的联合概率密度函数为 ， (1) 分别求，的边际密度函数；（本小题6分） (2) ，相互独立吗？说明理由（本小题3分） (3) 求随机变量函数的概率密度函数。（本小题6分） 解：(1) ，的边际密度函数为： ； 3’ 。 3’ (2) 由于，因此，不独立。 3 (3)解法一：利用卷积公式，得到 当或时， 2’ 当时， 2’ 当时， 2’ 即 解法二：先求分布函数。 当时， 当时， 当时， 当时，，故有 （8分）在天平上重复称重一重物，假设各次称重结果相互独立，称重结果的期望值为，方差为0.04，若以表示n次称重结果的算术平均值，为使，请用中心极限定理估计至少要称重多少次？ 解：若随机变量表示第次称重的重物， 则，于是有 。 利用中心极限定理得到 4’ 要使，即， 2’ 于是得到， 1’ 取。 1’ （10分）从某品牌的油漆中随机抽取9个样品，测得油漆的干燥时间（单位：h）为 6.5，5.8, 7.2, 6.6, 6.8, 6.3, 5.6, 6.1, 4.9 假设油漆的干燥时间，这里未知。问 是否可以认为油漆的平均干燥时间为 （）；（本小题5分） 求的95%的置信区间。（本小题5分） （） 列1 平均 6.2 标准误差 0.23094 中值 6.3 标准偏差 0.69282 样本方差 0.48 峰值 0.282087 偏斜度 -0.56543 区域 2.3 最小值 4.9 最大值 7.2 求和 55.8 计数 9 最大(1) 7.2 最小(1) 4.9 解：(1)建立原假设，备选假设。 选取统计量，当原假设成立时， 2’ 利用样本数据，有，，，故统计量的测试值为 2’ 由得到，由于，故接受原假设，即认为油漆的平均干燥时间为6小时。 1’ (2) 由样本数据得到，，对于，自由度为8，有 ，所以 1’ 2’ 2’ 故的95%的置信区间为 （13分）设是取自总体的一个简单随机样本，的密度函数为 其中为未知参数， 试求的矩估计；（本小题4分） 试求的极大似然估计；（本小题5分） 问的极大似然估计量是否为无偏估计，请说明理由。（本小题4分） 解：(1)先计算 2’ 由于，得到 2’ (2) 对于一组观测值，设，此时似然函数 两边取对数，得对数似然函数 2’ 分别关于求导，可得 1’ 关于严格单调递增，所以的最大值应在取值的右面的边界点上取到，故极大似然估计为 2’ (3)设的分布函数为，利用最小值分布的公式，得到 得到的密度函数 2’ 1’ 故不是无偏估计。 1’ 填空题（每小题3分，共18分） 设随机变量的分布律为 且 则常数=