直线、平面垂直的判定及其性质讲义.docVIP

直线、平面垂直的判定及其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 符号语言： 特征：线线垂直线面垂直 要点诠释： (1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视。 (2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要。 知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角知识点三、二面角2.二面角的平面角　　在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条构成的角叫做二面角的平面角。　　　　　　　　　　　　　　　　　二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角。 知识点四、平面与平面垂直的定义与判定　　 2.平面与平面垂直的判定定理 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 符号语言： 图形语言：　　　　　　 特征：线面垂直面面垂直要点诠释：　　平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可。知识点五、直线与平面垂直的性质　图形语言：　　　　　　　　　2.性质定理　垂直于同一个平面的两条直线平行。　符号语言：　图形语言：　　　　　知识点六、平面与平面垂直的性质　图形语言：　　　　　　　　【典型例题】 典型例题一 例1下列图形中，满足唯一性的是（ ）． A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线外一点与该直线平行的平面 C．过平面外一点与平面平行的直线 D．过一点作已知平面的垂线 分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关． 解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面． B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行． C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条． D．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾． 故选D． 说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到． 典型例题二 例2 已知下列命题： （1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影； （2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行； （3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直； （4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直． 上述命题正确的是（ ）． A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4） 分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形． 解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系； （2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行； （3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直； （4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性． 故选D． 说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如在正方体中，分别为棱和上的点，为棱上的点，且，，求． 典型例题三 例3 如图，在正方体中，是的中点，是底面正方形的中心，求证：平面． 分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明平面，只要在平面内找两条相交直线与垂直． 证明：连结、、，在△中， ∵分别是和的中点， ∴． ∵面， ∴为在面内的射影．