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现代控制理论基础（习题） 1-4. 两输入、，两输出、的系统，其模拟结构图如下所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 解：状态方程 输出方程为 整理有 求传函： 1-5. 系统的动态特性由下列微分方程描述 （1） （2） 列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：（1），， ，，， 有 状态空间表达式为： ① 另一解法的结果应为： ② （2），， ，，， ① ② 1-6. 已知系统传函为： （1） （2） 试求出系统的约旦标准型实现，并画出相应的模拟结构图。 解：（1）须用并联分解 即 （2） 1-7. 给定下列状态空间表达式 （1）画出其模拟结构图； （2）求系统的传函。 解：（1） （2）求传函： 设 1-8. 求下列矩阵的特征矢量 （1） 解： ， （2） 解： ，，特征向量， （3） 解：特征根，， 特征向量，， （4） 解： ， 时，特征向量 时，特征向量 时，特征向量 1-10.已知两个子系统的传函阵分别为和 试求两子系统串联和并联联接时系统的传函阵。 解：串联： 其传函为： 并联： 其传函为： 讨论：串联联接时，两个子系统的前后顺序不同，结果不同。并联时与子系统的顺序无关。 1-11. 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1，2的传函分别为： 求系统的闭环传递函数阵。 解： 1-12.已知差分方程为： 试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数的系统b（即控制列阵）为（1），（2）。 解：（1）脉冲传函为： （2） 2-3. 已知矩阵，试用拉式反变换法求。 解： 2-4. 用三种方法计算以下矩阵指数函数 （1） （2） 解：（1）：① 拉氏变换 ② 规范形方法 求得系统矩阵特征根，求得特征向量，即： 取，即特征向量为 变换阵，， ③ 由定义计算 （2）：① 化标准形 求特征根和特征向量 ，为A阵特征根 时的特征向量 特征向量为 时的特征向量 特征向量为 ② 化有限项 设 由 ③ 拉氏变换 2-5. 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，若满足试求与之对应的A阵。 （1） （2） （3） （4） 解：（1） 此不能作为状态转移阵 （2） 此可作为状态转移阵 （3） 此可作为状态转移阵 （4） 此不能作为状态转移阵 2-6. 求下列状态空间表达式的解。 初始状态，输入是单位阶跃函数。 解：：求系统的状态转移阵（拉氏变换） ：状态方程的解（响应） 3-1. 判别下别系统的能控性与能观性，系统中a、b、c、d的取值对能控性与能 观性是否有关，若有关则其取值条件如何？ （1）系统如下图所示： 解：系统的状态空间表达式为： 其秩等于3，故系统无论a、b、c、d为何均不能控。 （2）系统如下图所示： 解：系统的状态空间表达式为： ，当时系统能控 ，当时系统能观 （3）系统如下式： 解：由标准型判据知： 当，时，系统能控 当，时，系统能观 3-2.时不变系统，试用两种方法判别其能控性与能观性。 解：：秩判据： ，此阵秩为1，不能控。 ，此阵秩为2，能观。 ：矩阵的特征根为-2、-4，相应的特征向量为、。 取，。 由标准形判据知系统不能控，但能观。 3-3. 确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数。 （1） （2） （3） 解：（1） 要使系统即能控又能观必有 （2） 要使系统即能控又能观必有并且 （3）， 显然系统能观，只要满秩即可，要使满秩，应满足： ： ： 3-5. 试证明对于单输入的离散时间定常系统，只要它是完全能控的，那么对于任意给定的非零初始状态都可以在不超过个采样周期的时间内转移到状态空间的原点。 证：为初始状态，取控制序列为 系统能控满秩，由于为列向量 可逆 证毕。 3-6. 已知系统的微分方程为，试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传函。 解：令，，，则有 其对偶系统为： 其传函为： 3-7. 已知能控系统的状态方程A，b阵为 试将该状态方程变为能控标准型。 解：： ：，满秩能控 ：， ：能控规范型的阵为： 3-10. 给定下列状态空间方程，试判别其能否变换为能控和能观标准型。 解：：判断系统的能控性和能观性 ，故不满秩，系统不能控。