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分类讨论试题 1.已知，，函数的图象与函数的图象相切． （1）求与的关系式（用表示）； （2）设函数在内有极值点，求的取值范围． 解：（1）依题意，令，得． 故．由于，得． ，，． （2）． ． 令，即．则． 若，则有一个实根，且的变化如下： 于是不是函数的极值点． 若，则有两个不相等的实根，，且的变化如下： 由此，不是函数的极大值点，是函数的极小值点．综上所述，当且仅当时，函数在上有极值点．由，得 或． ，或， 解得或． 故所求的取值范围是． 2.已知，，数列满足，， ． （Ⅰ）求证：数列是等比数列； （Ⅱ）当n取何值时，取最大值，并求出最大值； （III）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 解：（I）∵，，， ∴． 即． 又，可知对任何，，所以． ∵， ∴是以为首项，公比为的等比数列 （II）由（I）可知= （）． ∴． ． 当n=7时，，； 当n7时，，； 当n7时，，． ∴当n=7或n=8时，取最大值，最大值为． （III）由，得 （*） 依题意（*）式对任意恒成立， ①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意． 　　　　 　②当t0时，由，可知（）． 　　　　　　 而当m是偶数时，因此t0不合题意． 　　　　 　③当t0时，由（）, ∴　∴． （） 　　　　　　 设 （） 　　　　　　∵ =, 　　　　　　∴． 　　　　　　∴的最大值为． 　　　　　　所以实数的取值范围是． 3.设函数，其中.若在x=3处取得极值，求常数a的值。若在上为增函数，求a的取值范围。 解：（1）. 因在x=3取得极值,所以.解得a=3. 经检验知当a=3时,x=3为的极值点. (2)令得. 当时,若,则,所以在和上为增函数,故当时,在上为增函数. 当时,若,则,所以在和上为增函数. 从而在上也为增函数. 综上所述,当时, 在上为增函数 4. 函数，函数f(x)的图象与x轴有两个交点. （1）求a与b的值； （2）若函数f(x)的导数为，数列{an}满足，设，求数列{bn}的通项公式； （3）在（2）的条件下设，试孙函数g(x)在x = 1处的导数，并比较的大小. 解：（1） 知，所以（1，0）是函数的图象与x轴的一个交点，由三次函数图象的性质，另一个交点必为极大值点，即由 （2）由（1）知 ， 两边取对数，即 ， 所以数列{bn}是首项为2公比为2的等比数列， 则 （3） ① ② ②－①，得 ， ， 当； 当； 当； 当 ， 又， 所以 综上当； 当 5.已知数列的前项和满足（≥1） （1）写出数列的前3项、、； （2）求数列的通项公式； （3）证明对于任意的整数有 解：（1）由==，得=1 由+==，得 由++==，得- （2）当≥2时， …… ∴ - 经验证：也满足上式，所以 ≥1 （3）证明：由通项知 当≥3，且为奇数时 当4且为偶数时 当4且为奇数时 ∴对任意4有- 6．已知为数列的前项和，且，n=1,2,3… （）求证: 数列为等比数列； （）设，求数列的前项和； ， . . 是以2为公比的等比数列 （Ⅱ）,. . 当为偶数时， ； 当为奇数时， n=. 综上， 1