R-%27n-中曲线论初步-毕业论文.docVIP

摘  要 本文按照Ｐ经典微分几何的研究思路，对Ｒｎ中的正则曲线作了初步探讨，我们首先 从豫“中正则曲线的定义入手，然后介绍了正则曲线的自然参数表示和Ｆｒｅｎｅｔ－Ｓｅｒｒｅｔ公式， 接卜．来利用这一重要公式给出了Ｒ“中正则曲线的各阶曲率的计算公式，讨论了中的， 般螺旋线和曲线的平坦性，我们还对渺中的闭曲线证明了一个几何不等式。 关键词：舯中的曲线；各阶曲率：一般螺旋线；Ｆｒｅｎｃｔ标架；平坦性． ＡＢＳＴＲＡＣＴ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｔｈｅｓｉｓ．ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｔｈｅ ｉｄｅａｓ ｏｆ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｇｅｏｍｅｔｒｙ ｉｎ  Ｒ３，ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓ  ｒｅｇｕ— ｌａｒ ｃｕｒｙｅｓ ｉｎ Ｒ”．Ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｂｅｇｉｎｎｉｎｇ ｏｆ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｇｕｌａｒ ｃｕｒｖｅｓ，ｗｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｐａｒａ－ ｍｅｔｒｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｆｒｅｎｅｔ Ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ｒｅｇｕｌａｒ  ｃｕｒｖｅｓ．Ｔｈｅｎ，ｂｙ ｔｈｅ Ｆｏｒｍｕｌａ，ｗｅ ｇｉｖｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａｓ ｏｆ ｒｅｇｕｌａｒ ｃｕｒｖｅｓ’ｃｕｒｖａｔｕｒｅｓ，ａｎｄ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｈｅｌｉｃｅｓ ａｎｄ ｆｌａｔｎｅｓｓ ｏｆ  ｃｕｒｖｅｓ  ｉｎ 即，ｆｉｎａｌｌｙ Ｗｅ ｐｒｏｖｅ  ａ  ｇｅｏｍｅｔｒｙ  ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｏｆ ｃｕｒｖａｔｕｒｅｓ ａｎｄ ａｒｃ ｌｅｎｇｔｈ． Ｋｅｙ  Ｗｏｒｄｓ：ｃ｜ａｒｖｅｓ  ｉｎ Ｒ４；ｃｕｒｖａｔｕｒｅ；ｇｅｎｅｒａｌ ｈｅｌｉｃｅｓ；Ｆｒｅｎｅｔ－Ｓｅｒｒｅｔ Ｆｏｒｍｕｌａ；ｆｌａｔｎｅｓｓ 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，进行的研究工作及取得的 研究成果．除文中已经注明引用的内容外，本论文的研究成果不包含任何他人撰写过的已 公开发表或未公开发表的研究成果，对本文所涉及的研究工作做出重要贞献的个人和集 体，均已在文中以明确的方式标明并表示谢意．本学位论文原创性声明的法律责任由本人 承担． 学位论文作者签名： ＿’年ｉ旯ｓ  黝 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关收集、保存、使用学位论文的规定．同意如下各项内 容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保留学位沦文并向国家主 管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，并采用影印、缩印、扫描、数字化和其 他手段保存论文；有权将学位论文用于非赢利１７１的的少量复制或全部内容用于学术活动并 允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权 将学位论文的标题和摘要汇编出版．必威体育官网网址的学位论文在解密后适用本规定． 学位论文作者签名：罗妇  导师签名： 川年占月，ＦＩ  年  月  日 Ｒ？中曲线论初步 第一节  引言 曲线的微分几何是经典微分几何的一个重要组成部分，我们知道，对于Ｒ３中正则曲 线＇，可以对它通过弧长ｓ再参数化，使其切向量场成为单位向量场，伴随ｊ二曲线１，可以 引进Ｆｒｅｎｅｔ．Ｓｅｆｒｅｔ活动标架，将这个标架微分后再分解到它自身上面可以得到Ｆｒｅｎｅｔ－Ｓｅｒｒｅｔ 公式，其中引入的曲率和挠率是曲线的两个重要几何量。经典的曲线论ＪＦ是围船ｒｅｎｅｔ－ Ｓｅ玎ｅｔ公式而展歼的。 本文遵循了上述思想对ｎ维欧氏空间豫ｎ中的曲线作一初步研究，在第二节中我们首先 从皿”中曲线的定义开始，讨论正则曲线及正则曲线的再参数化问题，然后对Ｒ”中的曲线 Ｊ入Ｆｒｅｎｅｔ－Ｓｅｒｒｅｌ方程组，这个方程组已包含－于二Ｋｌｉｎｇｅｎｂｅｒｇ［７］和Ｋｕｐｉ乜、Ｐｅｒｌｅｓ［８１中，然而 他们都没有给出Ｒ“中的各阶曲率的计算公式，本文给出了Ｒｎ中正则曲线的各阶曲率的计 算公式。在第三节中，我们仿照Ｗｅｉｎｅｒ［１５冲的方法证明了Ｒｎ闭曲线的一个几何不等式。 笫四节中我们将Ｒ３中一般螺旋线的概念推广到Ⅱ乏ｎ中，证职了舯中曲线为一般螺旋线充分 必要条件。最后在第血节中，我们还讨论了豫ｎ中曲线的平坦性，所得结果恰足Ｒ３中曲线论 的两个命题的一个共同推广。 Ｐ中曲线论初步 第二节  Ｒｎ中曲线 ２．１Ⅳ中曲线 定义２．１．１．（连续映射）给定映射，ｙ：（ａ，ｂ）一ｌｐ，其中ｎ，ｂ∈Ｒ．若对妇，Ｙ∈（ａ，ｂ）莉／１Ｖ￡＞ｏ，存 在５＞０，使得当Ｉｚ—Ｙｌ＜６时，恒有Ｉ，ｙ（ｚ）一１（Ⅳ）ｆ＜￡，则称，ｙ是（ｄ，ｂ）上的连续映射。 定义２．１．２．（Ｒ“中曲线）设１：（ａ，ｂ）一Ⅱｐ，其中ｏ，ｂ∈聪也可以为ｏｏ），且（Ⅱ，６）为非空