方差协方差.pptVIP

* * * 4、均匀分布 设 其它 即位于区间(a,b)的中点。 15 因此，泊松分布的期望与方差都等于参数 ,泊松分布只含一个参数 , 因此,只要知道它的期望式方差，就可确定它的分布。 5. 指数分布 设X服从参数为 ( 0 为常数)的指数分布 16 令 17 6. 正态分布 设 令 18 这就是说，正态随机变量的概率密度中的两个参数 和 分别是该随机变量的期望与方差，因而正态随机变量的分布完全可由它的期望和方差确定。 关于正态分布的一个重要结论: 设X,Y相互独立,且都服从正态分布 则X,Y的任一线性组合: 仍服从正态分布 例2: (1)设随机变量X与Y独立, 且服从均值为1、标准差为 的正态分布,而Y服从标准正态方布, 试求随机变量 Z=2X-Y+3 的概率密度函数. (2) 已知X,Y相互独立同服从分布 求 21 解: (1) 由题意知, 且X与Y相互独立, 故X与Y的线性组合Z=2X-Y+3仍服从正态分布, 且 而 故 于是Z的概率密度函数为 : 故 X-Y 也服从正态分布. (2) 因为X与Y相互独立, 22 又 因此 故 例3 已知X ,Y 相互独立, 且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X – Y | ). 解 故 例4 例4 设活塞的直径（以cm计） ，气缸的直径 ,X与Y相互独立.任取一只活塞, 任取一只气缸,求活塞能装入气缸的概率． 解 由题意需求 由于 故有 标准化随机变量 设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X ) 都存在, 且D(X ) ? 0, 则称 为 X 的标准化随机变量. 显然， Ch4-* § 4.4 协方差和相关系数 问题 对于二维随机变量(X ,Y ): 已知联合分布 边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系 问题是用一个怎样的数去反映这种联系. 数 反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系 § 4.4 协方差 反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系 一. 协方差 对于二维随机变量(X,Y), 如果 存在则称它为X与Y的协方差，记为 即: 1. 协方差的定义 2 2. 协方差的常用计算公式： Ch4-* 若 ( X ,Y ) 为离散型， 若 ( X ,Y ) 为连续型， 协方差和相关系数的计算 3. 协方差的基本性质: 3 1) 2) 3) 证: 1),2) 显然。4）前面已证 二、相关系数 对于二维随机变量 (X,Y) 称 为X与Y的相关系数 4 对此定义作如下说明 1. 将随机变量和标准化 即令 Ch4-* 求 cov (X ,Y ), ?XY 1 0 p q X P 1 0 p q Y P 例1 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y pij 1 0 1 0 p 0 0 q 0 p 1 p + q = 1 解 1 0 p q X Y P 例1 Ch4-* 例2 设(X,Y)具有概率密度 求 Cov(X,Y). 解： Ch4-* 例3 设 ( X ,Y ) ~ N ( ?1,?12;?2,?22 ; ?), 例2 则?XY = ? 若 ( X ,Y ) ~ N ( ?1, ?12, ?2, ?22, ?), 则X ,Y 相互独立 X ,Y 不相关 Ch4-* 例4 设?~ U(0,2?) , X=cos ? , Y=cos( ? +? ), ? 是给定的常数，求 ?XY 解 例3 Ch4-* Ch4-* 若 若 有线性关系 若 不相关， 但 不独立， 没有线性关系，但有函数关系 2. 相关系数 满足 1) 的充要条件是存在常数a,b 2) 证：1)由 使 5 此式说明相关系数实际上是随机变量X和Y经标准化之后新的随机变量的协方差. 考虑新变量 与 之和的方差。 2) 必要性， 设 则 6 由方差性质 4) ,存在常数C， 使得下式成立 即 得 如果 可考虑 也容易找到常数