高二新课程数学2.3《等差数列的前n项和》第2课时课件（新人教A版）必修五.pptVIP

课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 1．掌握等差数列前n项和的性质，并能应用性质解决一些问题． 2．会求等差数列前n项和的最值． 3．会解决有关等差数列求和的综合问题． 1．等差数列前n项和的性质．(重点) 2．等差数列前n项和的最值问题．(难点)  第2课时　等差数列前n项和的应用 【课标要求】 【核心扫描】 等差数列前n项和的性质 (2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为____. 自学导引 1． m2d (4)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， nd an ：如果数列的前n项和公式Sn＝An2＋Bn，其中A，B为常数，那么这个数列是否一定为等差数列？ 提示：由Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an① 得Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2)② 由①－②得an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∵S1＝a1， 又Sn＝An2＋Bn， ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2An－A＋B. 当n＝1时，a1＝S1＝A＋B符合上式， ∴an＝2An－A＋B(n∈N*) ∴数列{an}是等差数列，首项为A＋B，公差为2A. 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中 2． 最大 最小 最小 最大 关于等差数列奇数项与偶数项性质的推导 ①若项数为2n，则S偶－S奇＝a2＋a4＋…＋a2n－a1－a3－…－a2n－1＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2n－a2n－1)＝ 名师点睛 1． 二次函数配方法求等差数列前n项和Sn的最值 2． 题型一　等差数列前n项和性质的应用 　　一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． [思路探索] 解答本题可利用前n项和公式求出a1和d，即可求出S110，或利用等差数列前n项和的性质求解． 【例1】 故此数列的前110项之和为－110. 法二　数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100为等差数列，设公差为d′，则 又∵S10＝100，代入上式得d′＝－22， ∴S110－S100＝S10＋(11－1)×d′＝100＋10×(－22)＝－120， ∴S110＝－120＋S100＝－110. 法三　设等差数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn. ∵S10＝100，S100＝10， 　　　　解决此类问题的方法较多，法一、法三是利用方程的思想方法确定出系数，从而求出Sn；法二是利用等差数列的“片断和”性质，构造出新数列，从而使问题得到解决． 　　　一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d. 解　法一　设此数列首项为a1，公差为d， ∵S偶－S奇＝6d，∴d＝5. 【变式1】 　　在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求数列的前多少项和最大？ [思路探索] 可根据题意先求得数列的公差，从而由通项的正负或前n项和公式判断；也可根据前n项和的函数特性求解． 题型二　等差数列前n项和的最值问题 【例2】 所以数列的前13项和最大． 法二　同法一解得d＝－2. ∴an＝25＋(－2)(n－1)＝－2n＋27. 令an0，即－2n＋270.解得n13.5， 即数列的前13项均为正数，第13项以后均为负数， 所以数列的前13项和最大． 法三　∵a1＝25，S9＝S17，∴公差d0. ∵S9＝S17，即f(9)＝f(17)， ∴当x＝13时，f(x)取得最大值． ∴数列的前13项和最大． 　　　　　法一是利用二次函数的最值求解，法二是通过数列的通项的特点找出正负项的分界点，法三是利用了前n项和的二次函数特性，由二次函数的对称性求解． 　　　已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值． 解　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0， 得a1＋3d＋a1＋6d＝0， 解得d＝－2， ∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n. (2)法一　a1＝9，d＝－2， 【变式2】 ＝－n2＋10n ＝－(n－5)2＋25 ∴当n＝5时，Sn取得最大值． 法二　由(1)知a1＝9，d＝－20， ∴{an}是递减数列． ∵n∈N*，∴n≤5时，an0，n≥6时，an0. ∴S5最大． 　　已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn. (1)求an及Sn. 审题指导 (1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差