高二新课程数学2.4《等比数列》第1课时课件（新人教A版）必修五.pptVIP

课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 【课标要求】 1．理解等比数列定义，会用定义判断等比数列． 2．掌握等比数列的通项公式． 3．掌握等比中项的定义并能解决相应问题． 【核心扫描】 1．等比数列的判定．(重点) 2．等比数列的通项公式及应用．(重点、难点) 3．等比中项及应用 第1课时 等比数列的概念及通项公式 2.4　等比数列 等比数列的概念 如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的比等于_________，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_____，通常用字母q表示(q≠0)． 自学导引 1． ：常数列一定是等比数列吗？ 提示：不一定．当常数列为非零常数列时，此数列为等比数列，否则不是． 2 同一常数 公比 等比中项 等比数列的通项公式 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则数列{an}的通项公式为an＝______. 2． 等比中项 3． a1qn－1 ：推导等比数列的通项公式有哪些方法？ 提示：等比数列的通项公式的推导有下列三种方法： 归纳法：由等比数列的定义可以得到a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，归纳得an＝a1qn－1. 迭代法：因为{an}是等比数列， 所以an＝an－1q＝(an－2q)q＝an－2q2＝(an－3q)q2＝an－3q3＝…＝a1qn－1，所以an＝a1qn－1. 等比数列定义的理解 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零． (3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列． 名师点睛 1． 等比中项的理解 (1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项． (2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． (3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列． 等比数列的通项公式 (1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列． (2)在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量． 2． 3． 题型一　等比数列通项公式的应用 在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. [思路探索] 解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量． 【例1】 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，知n＝6. a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q. 在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an. 【变式1】 等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． [思路探索] 本题主要考查等比数列的基本运算和等比中项的求法． 题型二　等比中项的应用 【例2】 已知b是a与c的等比中项． 求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． 证明　∵b是a和c的等比中项， ∴b2＝ac，且a，b，c均不为零， ∴(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2 ＝a3c＋2a2c2＋ac3. 又∵(a2＋b2)·(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2 ＝a3c＋a2c2＋a2c2＋ac3 ＝a3c＋2a2c2＋ac3. ∴(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)． 又∵a2＋b2≠0，b2＋c2≠0， ∴ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． 【变式2】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 审题指导 (1)变形递推公式，按等比数列的定义证明； (2)求出{an＋1}的通项公式，即可求出an. [规范解答] (1)证明　法一　因为an＋1＝2an＋1， 所以an＋1＋1＝2(an＋1)． 由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0. 所以数列{an＋1}是等比数列． (6分) 题型三　等比数列的判定 【例3】 ∴数列{an＋1}是等比数列． (6分) (