高二新课程数学2.5《等比数列的前n项和》课件（新人教A版）必修五.pptVIP

课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 【课标要求】 1．理解等比数列前n项和公式的推导过程． 2．掌握等比数列前n项和的公式，会用前n项和公式解决 等比数列问题． 【核心扫描】 1．等比数列前n项和的公式及应用．(重点) 2．利用错位相减法求数列的和．(重点、难点) 2．5　等比数列的前n项和 等比数列的前n项和公式 自学导引 ：尝试用其他方法证明等比数列的前n项和公式． 提示：等比数列前n项和，也可以用以下几种方法，令首项为a1，公比为q(q≠1)． 1．乘法运算公式法 ∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1 ＝a1(1＋q＋q2＋…＋qn－1) 2．方程法 ∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1 ＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－2) ＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1) ＝a1＋q(Sn－a1qn－1)， ∴(1－q)Sn＝a1－a1qn. 等比数列前n项和公式的理解 (1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量． 成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数． 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 名师点睛 1． 等比数列前n项和性质 (1)在等比数列{an}中，连续相同项数和也成等比数列，即：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…仍成等比数列． (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝－Aqn＋A?数列{an}为等比数列． 2． 题型一　等比数列前n项和公式的基本运算 在等比数列{an}中， (1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (3)若q＝2，S4＝1，求S8. [思路探索] 根据等比数列的前n项和公式，结合通项公式，列方程或方程组求解． 【例1】 (1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1和q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． (2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比 q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q. 解　若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1. 但S3＋S6≠2S9，∴q≠1. 【变式1】 一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数． 题型二　等比数列前n项和性质的应用 【例2】 法二　设项数为n. ∵等比数列的项数为偶数，Sn＝S奇＋S偶， 则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋an－1， S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋an＝a1q＋a3q＋a5q＋…＋an－1q＝q(a1＋a3＋a5＋…＋an－1)＝q·S奇，∴85q＝170，∴q＝2， 　　　　 本题法二利用了等比数列的“子数列”性质，若等比数列的项的序号成等差数列，则对应项依次成等比数列．另外，两个等式之间的除法运算体现了“整体消元”的思想． 【变式2】 等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，求S4. ＝7×(1＋3)＝28. ∴S4＝28. 法二　∵{an}为等比数列， ∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7,91－S4成等比数列， ∴(S4－7)2＝7(91－S4)．解得S4＝28或－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2 ＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)S2， ∴S4＝28. 　　借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051) [规范解答] 　法一　设每个月还贷a元，第1个月后欠款为 a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则 a0＝10 000， a1＝1.01a0－a， a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a， …… a6＝1.01a5－a＝……＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.