《直线方程》 专题辅导（直线的方程）.docVIP

《 直 线 方 程 》 专 题 辅 导 （肇庆市实验中学，广东 谭 渊 526100） 内容提要：本文是从知识要点、典型题型和解题技巧、一题多解、错解分析等方面，对《有向线段、定比分点》、《直线方程》进行专题复习，期望对高三的同学有所帮助。 知识要点：有向线段的数量和长度、两点间的距离、线段的定比分点、线段的中点坐标公式、三角形的重心坐标公式、直线的斜率、直线方程的几种形式。 典型题型和解题技巧 有向线段、定比分点 １．两点间距离公式的应用 例１ 已知：，求证： 证明：如图１，设Ａ，Ｂ坐标分别为（１，a）则 |a –b|=|AB|. 当时，则三角形ＡＯＢ中， 由||AO|-|BO|||AB| 得｜f(a)-f(b)||a-b| 当a = b 时，|OA|=|OB| ,|a-b|=0, 故有 ｜f(a)-f(b)|=|a-b| 综上所述，得 ２．定比分点公式的应用 公式的“逆用” 例２ 如图２，已知两点Ａ（４，１） 和Ｂ（－１，３），求线段ＡＢ和y轴交 点Ｍ的坐标。 解：设点Ｍ的坐标为（０,y0）, ，则，由定比分点公式得 ,于是 ，即点M的坐标是。 注意利用平面几何知识 如图3，已知A（5，-1）， B（-1，7），C（1，2），求 平分线AD的长。 解： 则由 设点D（x0,y0）,， 即，于是 说明：本例运用了三角形角平分线的性质：若AD是的内角平分线，则|AB|：|AC|=|BD|：|CD|，在学习解析几何时，要尽可能地挖掘出所给图形的几何性质，以简化解题。 点斜式和斜截式 1.斜率的求法 求直线的斜率有三种方法（1）利用定义；（2）利用“两点式”：；（3）利用直线的斜截式方程：． 已知直线L的方程为当在实数范围 变动时，求L的倾斜角的取值范围。 解：由已知得 设直线L的倾斜角为，则， 从图4中可知，直线的倾斜角 的取值范围是 说明：（1）所有直线都有倾斜角， 倾斜角的取值范围是[0，]。 (2)非所有的直线都有斜率，与x轴 垂直的直线就不存在斜率. 2.k参数 在直线的点斜式和斜截式方程中, 都有直线的斜率k,为了求直线的方程,常常需要确定它的斜率,此时,可以把k 作为参数引入,对解题会有很大的帮助. 直线L过定点A(-2,3),且与两轴围成的三角形面积为4, 求直线L的方程. 解:依题意可知,L不与两坐标轴垂直,设直线的方程为: ,则L在x轴、y轴上的截距分别为，根据题意，得，即 当时，解之得； 当时，解之得所以，所求的直线L的方程为： 三、两点式和截距式 1．直线截距的求法 求直线截距的方法有两种：（1）把直线化为截距式；（2）在直线方程中，令y = 0得，再令得，则就是直线在x轴、y轴上的截距。 例6已知直线L过点P（3，2），且与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A、B（如图6）；（1）求的面积取最小值时的L的方程；（2）求直线L在两坐标轴上截距之和的最小值。 解：（1）设A、B坐标 依次为（a,0）(0,b) （显然a3），则直线L的方程为, 将P（3，2）代入得，于是 ，故的面积S= 所以，当， 故直线L的方程为 4 B(1,b) A(1,a) x y O 图2 A(4,1) B(-1,3) x y O 图1 图3 C D B(-1,7) A(5,-1) O y x 图6 L B A y x 图4 O y x O