广东工业大学应用数学学院《高等数学》教学大纲.docVIP

广东工业大学应用数学学院《高等数学》教学大纲 第一部分 大纲说明 一、本门课程的性质与任务 高等数学课程是高等学校工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得： 函数、极限、连续, 一元函数微积分学, 向量代数和空间解析几何， 多元函数微积分学， 无穷级数（包括傅里叶级数）， 常微分方程 等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力。 二、本门课程的基本要求 正确理解下列基本概念和它们之间的内在联系： 函数，极限，无穷小，连续，导数，微分，极值，不定积分，定积分，偏导数，全微分，条件极值，重积分，曲线积分，曲面积分，无穷级数，微分方程。 2．正确理解下列基本定理和公式并能正确运用： 极限的主要定理，罗尔定理和拉格朗日中值定理，泰勒定理，定积分作为其上限函数的求导定理，牛顿—莱布尼兹公式，格林公式，高斯公式。 3．牢固掌握下列公式： 两个重要极限，基本初等函数、双曲函数的导数公式，基本积分公式，函数e、sinx、ln（1 +x）、的麦克劳林展开式。 4．熟练运用下列法则和方法： 导数的四则运算法则和复合函数的求导法，换元积分法和分部积分法，二重积分的计算法，正项级数的比值审敛法，变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法，二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 5．会运用微积分和常微分方程的方法解一些简单的几何、物理和力学问题。 三、本门课程内容的重点、难点及深度广度 1．函数、极限、连续 重点：函数概念，复合函数概念，基本初等函数的性质及其图形，极限概念，极限四则运算法则，连续概念。 难点：极限的ε—N、ε—δ定义，等价无穷小求极限。 2．一元函数微分学 重点：导数和微分的概念，导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系，导数的四则运算法则和复合函数的求导法，基本初等函数、双曲函数的导数公式，初等函数的一阶、二阶导数的求法，罗尔定理和拉格朗日定理，函数的极值概念，用导数判断函数的单调性和求极值的方法。 难点：复合函数的求导法，隐函数和参数式所确定的函数的高阶导数，泰勒定理。 3．一元函数积分学 重点：不定积分和定积分的概念及性质，不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法，变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿—莱布尼兹公式，用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力等）。 难点：变上限函数的求导，广义积分，用定积分求功、引力等。 4．向量代数与空间解析几何 重点：空间直角坐标系，向量的概念及其表示，向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法，平面方程和直线方程及其求法，曲面方程的概念。 难点：向量的叉乘法，利用平面、直线的相互关系解决有关问题，曲线、曲面的投影。 5．多元函数微分学 重点：多元函数的概念，偏导数和全微分的概念，复合函数—阶偏导数的求法，多元函数极值和条件极值的概念。 难点：复合函数的高阶偏导数，隐函数的偏导数，求曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，求条件极值的拉格朗日乘数法。 6．多元函数积分学 重点：二重积分、三重积分的概念，二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），两类曲线积分的概念，格林公式。 难点：三重积分的计算方法，格林公式，高斯公式。 7．无穷级数 重点：无穷级数收敛、发散以及和的概念，几何级数和P—级数的收敛性，正项级数的比值审敛法，比较简单的幂级数收敛区间的求法。 难点：正项级数的比较审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，幂级数的收敛域及和函数，函数展开为泰勒级数，函数展开为傅里叶级数。 8．常微分方程 重点：变量可分离的方程及一阶线性方程的解法，二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 难点：二阶常系数非齐次线性微分方程的求解。 本大纲正文部分对课程内容的广度已有明确规定。 第二部分 具体内容与学时分配 一、课程内容 函数、极限、连续 函数：函数的概念，函数的特性，复合函数的概念，基本初等函数的性质及图形。 极限：数列极限的定义，收敛数列的性质（唯一性、有界性）；函数极限的定义，函数的左右极限，函数极限的性质（局部保号性、不等式取极限），无穷小与无穷大的概念；极限的四则运算法则，两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），两个重要极限，无穷小的比较。 函数的连续性：函数连续的定义，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区