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轨迹问题与作图问题 1轨迹问题 轨迹的概念： 定把点的集合，就称作的点的．因；图形是从点分布的位置来确定，考虑的是形状；而轨迹则是从点满足的条件来确定，考虑的是“动”点移．要C的点的F，必 完：任一C的点在F上； ：F上任一点都C． 解条件——指出结论——要什． 第命(如果有大小可言的)． 其解：完 第命 其解：探求(位置,大小) 完． 第命与第一探求上．第，第称2.轨迹基本定理：．： 1.到两定点等距的点的点的中垂2.到两相交直是两条垂直直3.与两平行直是与它行的一条直4.到定直的与其平行的两条直5.到定点距离迹，是一；6.对定线段的视角为定角α的点的是角等于α．3.轨迹的求解例1若三角形底垂直平分．已知：BC是定l是B点的定直A是l上的O是ABC的外心，MN是BC的中垂．求：O的迹是MN．完： O是ABC的外心， OA=OB=OC．又MN是BC的中垂O点必在MN上．： 在MN上任取一点O，作OPl，在l上取点A，使PA=PB，OP是AB的中垂OP与MN的交点O是ABC的外心，即MN上的任意点都符合条件． ： 由可知，ABC的外心O的BC的中垂MN． ： 若A与B重合，ABC不存在，外心也就不存在．B作l的垂MN于Q，Q点不符合条件，但Q点周MN上除Q点外都符合条件，极限点．如果限制A只在BC上方移O的QM，像Q点称作．极限点（含当在最后指出或注明．第、“探求” （： (1)确定范分两 (2)利用 (3)研究特殊点，如极限点、 (4)看特殊点与一般点的． 1.描述法——按条件作出一些点，然后． 例2到两定点A、B的距离之比m（m1）之点的迹是一个．探求：M满足条件，即MA:MB=m，M关于AB的M’也；迹是一个，直AB上．又AB上C，D即CA:CB=DA:DB=m， CD为直径的． 完即由MA:MB=m，求M在以CD直径的．∵ MA:MB=m=CA:CB=DA:DB， MC，MD分ABM的内角和外角平分MC⊥MD． 即CD为直径的圆上任一点M，求MA:MB=m．作MBMC的AB于A’． MC⊥MD，MC，MD是A’MB的内、外角平分此 由CA:CB=DA:DB=m，可知 因此得：’=CA. A’与A在C同．A’与A是同一点因此得MA:MB=m．下：CD为直径的圆周．(称作阿波罗尼圆) ⑤讨论：m=1，AB的中垂m1，m1，．2.条件代——将所(如推)，(包括基本)．3.初等——利用初等P通M一一M点的P的．三、解探求完成之后，——因范．2.位置的——条件中有 轨迹形成的图形可能有所变化，这也需引起注意．例6已知定点A和定O，A作任意直 ⊙O于BC，求BC的中点P的． 探求P是弦BC的中点，BC⊥OP, 由基本P点的迹是以OA直径的如果A点在内的情形．若A点在知同上；若A点在OA为直径的圆 在O内部的弧段，以OA与O的两个交点是极限点，也是A作切． 按照所何作．作几何作初等几何作1.作——原始的初等几何作 (1)过两点可作一条直线（或其部分）； (2)已知 (3)已知两直 (4)已知两 (5)已知一直． 基本作——根据作：以定射于；(2)可作三角形，已知：1o 三2o 两3o 两角及其 (3)过一点，作已知直线的垂线； (4)过一点，作已知直线的平行线； (5)平分一个角； (6)平分一段弧； (7)作； 8)分一条 (9)作 (10)已知弓形弦； (11)内分或外分一；12)作三个已知第四比例．即已知a，b，c， 求作a:b=c:x的x；(13)作两个已知的比例中．即已知a，b， 求作a:x=x:b的x；(14)已知a，b，求作段(15)已知a，b，求作段3.解作：一般作定位作)和不定位作作出符合条件的解；对于定位作图，能作出几个符合条件的图，就说该作图题有几个解，无论是否合同； 对于不定位作图，只要解是合同的，都当作一个解看待． 解作写出已知与求作：按．分析：假求解．作法：根据分析所要内容．符合条件的．解的个数、位置是否确定等．解作常用的作交——作就．例1从已知部分等已知：P是定O外一点．求作：从P作O(R)割PAB，使PA=AB． 分析假定A(或B)点．在POB中，A是PB的中点，PO中点M，MA=(1/2)R．A点在O上又在以M(1/2)R为半径的圆上．作法作PO的中点M，以M(1/2)R为半径作圆，交⊙O于A，PA并延O于B，PB为所求割线．过O作OB1MA， 交PB于B1，OB1=R， 即B1就是B点， 由OBMA可知A是PB的中点， 即PB．当MO(3/2)RPO3R时，此题无解；当PO=3R时，有一解，即割线过圆心；当RP