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对数、对数函数 高一数学 主讲教师：田美圣 §2．7 对数 一、基础知识要求 1．理解对数的概念，能进行对数式与指数式的互化 2．掌握对数的运算性质，理解推导对数运算法则的依据和过程，并会用语言叙述法则。从而记住这些法则。 3．本节的重点是对数的定义，对数的运算性质；难点是对数的概念。 二、学法指导： 1．定义 ab? N ? logaN? b (a0且a?1) 指数与对数对比表 logaMN=logaM+logaN =logaM ? logaN logaMp=plogaM aman=am+n am÷an=am-n (am)n=amn 运算性质 a___对数的底数 b___以a为底的N的对数 N_____真数 a_____幂的底数 b_____幂的指数 N_____幂的值 ?名称 logaN? b ab? N 式子： 2．对数中字母的取值范围。M?0, N?0，a?0且a?1 强调：零和负数没有对数。 3．由对数定义及运算性质可直接得到下面性质： loga1? 0，logaa? 1 ，logaam? m， ? N (a0且a?1) 4．两个特殊对数 常用对数log10N 记作 lgN 自然对数 logeN 记作lnN 底数为e≈2.71828…为无理数 5．性质强调： ①简易语言表述：“积的对数＝对数的和” “商的对数?对数的差” “幂的对数?幂指数乘以幂的底的对数” ②有时逆向用：如log105?log102? log10（5×2）? lg10? 1 ③当心错误： loga(MN) ? logaM×logaN loga(M ? N) ? logaM ? logaN 三、典型例题 例1．根据对数的定义，将对数式与指数式互化 （1） ? (2) log16 ? ? 解： （1）log5 （2） ［点评］由于指数式ab?N和对数式logaN?b (a?0,a?1)可以相互转化。因此，本题容易由指数式改写成对数式，由对数式改写成指数式时，改写的指数式必须是恒等式时,原对数式才是正确的。要注意两种表示形式中a、b、N的相应位置。改写时首先弄清指数式（或对数式）中谁是b，谁是N，注意对数符号的写法。特别是底数和真数位置要书写规范。 例2．已知loga2?m, loga3?n, 求a2m-3n的值。 解：loga2?m与loga3?n可化为am?2与an?3 ∴a2m-3n?(am)2÷(an)3?22÷33? [点评]本题充分体现了指数式和对数式的相互转化功能。将对数式化为指数式后就把对数运算转化为指数运算，从而运用已学的指数运算性质求值。 例3．求下列各式的值 （1） （2） 注意：公式的逆用 ［点评］用已知对数表示未知对数，就是把要表示的对数的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，然后用对数的运算性质。注意运算性质只有在同底的情况下才能运算。第（2）题中未指明a、x、y、z的范围，这时我们就认为是使每个对数符号都有意义的a、x、y、z的最大范围，即a?0，且a?1， x?0,y?0,z?0. § 2.8对数函数 一、基础知识要求 1．掌握对数函数的概念，图象和性质， 2．会用对数函数性质比较大小 3．重点在理解对数函数定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质。 4．难点： （1）底数a对对数函数的影响 （2）在解决有关对数函数问题时易忽略定义域对函数的影响。 二、学法指导 1．定义：函数y?logax (a?0且a?1) 叫做对数函数， x∈(0, ? ∞)，它是指数函数的反函数。 2．图像与性质 （1）图像： a1 (1,0) x y o 0a1 (1,0) x y o （2）性质 ①定义域 x∈(0, ? ∞) ②值域： R ③恒过定点（1,0） ④单调性：当a?1时，y?logax是增函数；当0?a?1时，y?logax是减函数； ⑤ ⑥非奇非偶函数 3．几点说明： ①讨论对数函数性质和解对数函数问题时，要注意分a1或0?a?1两种情况来讨论; ②换底公式logab? ；logab? ③增减性由a?1或0?a?1确定；y?logau (其中u是关于x的函数，u?0)的增减性由a的取值和u的单调性确定。 ④利用“闭区间上的单调函数在区间端点处取得最大或最小值”这一结论可以求logau（u是关于x的函数，且u∈[m,n]）的最大