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第一讲 行 列 式 行列式 下面我们通过例题演示来进一步巩固所学内容，并更好地掌握解题方法与技巧，本章常见题型有填空题、计算题、证明题。 例1：问当i、j如何取值时，排列 2 1 i 3 7 6 j 9 5为偶排列？ 例2：求排列 例4：在n阶行列式中，如果 等于零的元素比 n2- n还多, 试证明此行列式的值为零。 例5： 例6： 例7：计算行列式 例8： * * 线性代数习题课吉林大学术洪亮 前面我们已经学习了关 于行列式的概念和一些基本 理论，其主要内容可概括为： 概 念 性 质 展开定理 计 算 应 用 概 念 排列，逆序数，奇排列与偶排列 行 列 式 的 定 义 性 质 1．行列式与它的转置行列式相等； 2．互换行列式的两行（列），行列式变号； 3．某行（列）有公因子可以提到行列式符号外面； 4．若行列式中某一行（列）的所有元素均为两元素之和，则行列式可写成两个行列式的和； 5．行列式某行（列）的K倍后加到另一行（列）上，行列式不变。 展开定理 计 算 就是运用行列式的定义、性质、定理求行列 式的值，常用的方法有定义法、性质法、递 推法、数学归纳法、加边法、公式法等。 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 应 用 克拉默法则 解：令i 4，j 8，得排列为 2 1 4 3 7 6 8 9 5 座机电话号码5 为奇排列与题矛盾。 应取i 8，j 4 此时排列 座机电话号码5 为偶排列。 J（座机电话号码5） 1+0+1+0+2+1+1+1 7 的逆序数。 解： 解： 行标按自然排列，列标排列的逆序数为 的项前带正号。 行列式的项由不同行不同列的元素乘积构成， i、j为2、4的取值 两项 ， J（1 3 2 4） 1 J（1 3 4 2） 2 的项带负号, 含有因子 的项为 - 例3：写出四阶行列式中含有因子 的项。 元素比 n2- n还多，这说明 非零元素的个数比n2-（ n2- n） n还少。 由于行列式的每一项都是不同行不同列 的n个元素的乘积，因此，每一项中至少含 有一个零元素，即所有项都为零，所以，行 列式的值为零。 证： n阶行列式中有n2个 元素，等于零的 的充分必要条件？ 解： 展开即有 -1 0的充分必要条件是 1 已知四阶行列式D的第2行 元素分别为： -1，0，2，4； 第四行元素 的余子式依次为： 由行列式某行元素与另一行元素的代数余 子式乘积之和为零， 而A41 -2 A42 4 A43 - A44 4 解： -1 -2 +0×4 + 2 × - +4 ×4 0 9 解： 解：第2列、第3列直到第n列， 依次乘以 1倍后加到第1列上去，得：