第一节 外测度.pptVIP

第一节 外测度 1.引言 新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手） 圆的面积 达布上和与下和 Jordan测度 例：设E为[0,1]中的有理数全体，则E不Jordan可测 2 Lebesgue外测度(外包) 下确界： 例 设E是[0,1]中的全体有理数，试证明E的外测度为0 证明：由于E为可数集， 思考：3.我们知道有理数与无理数在[0,1]上都稠密，问证明中的开区间列是否覆盖了区间[0,1] 思考：4.对Jordan外测度，我们用有限个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，则这有限个开区间也覆盖[0,1]（除有限个点外） （2）Lebesgue外测度的性质 （C）次可数可加性 注：外测度的次可数可加性的等号即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可测集），但有: 例 例：Cantor集的外测度为0。 注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 * * 第三章 测度论 主讲：胡努春 其中 积分与分割、介点集的取法无关 几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。 xi-1 xi (1) Riemann积分回顾（分割定义域） yi yi-1 用 mEi 表示 Ei 的“长度” 问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 内接正n边形的面积（内填） 内接 外切 外切正n边形的面积（外包） Riemann积分 xi-1 xi 达布下和的极限 下积分（内填） xi-1 xi 达布上和的极限 上积分（外包） Jordan外测度（外包） Jordan可测 Jordan内测度（内填） 由于任一覆盖[0,1]中的有理数全体的有限开覆盖也一定 能覆盖除有限个点外的 [0,1]，从而 由于无理数在[0,1]中稠密，故任一开区间都不可能含在E内， 从而 所以 ，即E不Jordan可测 ( [ ( ) )( )( ( ) ] ) 　０　　　　　　　　　　　　　　１ ( [ 　　　　　　　　　　　　　 ] ) -ε ０　　　　　　　　　　　　 １ 1+ε 为E的Lebesgue外测度。 定义： ，称非负广义实数 与Jordan外测度比较： 即：用一开区间列 “近似”替换集合E 再由ε的任意性知 ( )  2.平面上的x轴的外测度为0 思考： １. 设E是平面上的有理点全体，则E的外测度为0 由无理数集在[0,1]上稠密可知 上面叙述的错误出在取　　　　，因为i的取定依赖于δ ( ) 注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列 （如Ｃantor集的余集的构成区间） ( [ ( ) )( )( ( ) ] ) 　０　　　　　　　　　　　　　　１ 注：对有限个开区间一定有从左到右的一个排列 5.对Lebesgue外测度，我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的 有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1] （除可数个点外） (b)的证明:能覆盖B的开区间列也一定能覆盖A，从而 能覆盖B的开区间列比能覆盖A的开区间列要少， 相应的下确界反而大。 （b）单调性： （a）非负性： ， 当E为空集时， 证明：对任意的ε0,由外测度的定义知，对每个An都有 一列开区间（即用一开区间{I nm}列近似替换An） 注：一般证明都是 从大的一边开始， 因为外测度的定义 用的是下确界 由的ε任意性，即得 当区间Ii的直径很小时候，区间Ii不可能同时含有A， B中的点从而把区间列Ii分成两部分，一部分含有A 中的点，一部分含有B中的点。 若d(A,B) 0,则 证明参见教材p-56 思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？ 此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广 对任意区间 ，有 证明：令第n次等分后留下的闭区间为 * * *