第三章 群表示论sect;3.1 群表示的概念.pptVIP

第三章 群表示论§3.1 群表示的概念 3.1.1 定义：若一组m?m维的非奇异矩阵构成的群D(G)与已知群G同构或同态，则D(G)称为G的一个m维线性表示，简称“表示”。 *G中元素R?G对应的矩阵D(R)称为R在表示D(G)中的表 示矩阵。 *D(R)的迹 ——R在D(G)中的特征标。 若 ，则D(G)——真实表示 若 ，则D(G)——非真实表示 它对D的限制： 对真实表示，D(A)D(B)=D(AB) ——一般均为真实表示 (1) 单位元素的矩阵表示必为单位矩阵 证：∵ EA=AE=A ∴ D(E)D(A)=D(A)D(E)=D(A) D(E)必是单位矩阵 (2) 例：G6： d3 S3： C3v: 此四个群同构，它们的二维表示为G6， 三维表示为d3 。 另： 也是它们的表示，但无意义 即： 称为恒等表示 3.1.2 等价表示和特征标 定理：若 为群 的表示矩阵，则这些表示矩阵经过某个非奇异矩阵x的相似变换后，仍为G的表示。 证：∵ D(A)D(B) = D(AB) ∴ 称D(G)和xD(G)x-1为等价表示 例：求C3v群三维表示d3的等价表示 d3 设矩阵为： 逆矩阵为： 可以得到等价表示：D?(A)=S-1D(A)S 定义：群 表示 则 …… 称?(E), ?(A), ?(B), …分别为表示D(E), D(A), D(B), …的特征标。 表示矩阵是可变的 相似变换 但表示的特征标是不变的。 证： 3.1.3 可约表示，不可约表示 （reducible and irreducible) 设G{E, A, B, …}有两组表示：{D(1)(E), D(1)(A), D(1)(B), …} {D(2)(E), D(2)(A), D(2)(B), …} 则超矩阵（块状对角矩阵） 也是G的表示（反之亦真） 。 也是G的表示。 对于有S组表示时，超矩阵 证明： 定义：以上D(A)称为 的直和（direct sum） 记作： 其中ai代表相同的Di(A)的个数。 上面是将S套表示化为一套，若把一套通过相似变换分解为许多套表示，称为约化。 定义：可约化的表示称为可约表示， 不可约化的表示称为不可约表示。 3.1.4 伴随表示与复共轭表示 设 有表示 ， 若有 ，则 仍是G的表示。 证明： 称 为伴随表示（adjoint） 同理 也是G的一个表示，称为复共轭表示。 §3.2 表示的构造 3.2.1 函数的变换 x y z r r? ??(r?) ?(r) 矢量r在对称变换R作用下：r?=Rr　 两者数值相等 PR为作用于函数的算符 (函数空间中的算符) 如果R组成空间对称操作群，那么PR在函数空间也构成一个群，且二者同构。 若 则 所以{PR, PS, PT, …}也构成一个群 ?{R}