【精品】课件---常微分方程数值解2012(第九章).pptVIP

§6.4 单步方法的收敛性和稳定性 6.4.1 单步方法的收敛性 初值问题的数值解法是经过某种离散化过程导出的,因此需要对数值解法进行定性分析.本节主要讨论单步方法的收敛性与稳定性. 定义6.1 定理6.1 [证明] Lipschiz条件： |f(x,y2)-f(x,y1)|≤L|y2-y1| 等比数列公比为 在收敛性的讨论中,我们已假定差分方程是精确求解的,但实际情况并非如此.例如,初始数据可能存在误差,计算过程中也不可避免地产生计算舍入误差,这些误差的传播和积累都会影响到数值解.那么实际计算得出的数值解能否作为精确解的近似呢?这取决于计算误差是否可控制,这就是数值方法稳定性的问题. 定义6.2 6.4.2 单步方法的稳定性 （-2.78，0） 4 四阶R-K方法 （-2，0） 2 改进Euler方法 （-2.51，0） 3 三阶R-K方法 （-∞，0） 2 梯形方法 （-2，0） 2 二阶R-K方法 （-2，0） 1 Euler方法 确定区间 方法的阶数 方法 确定区间 方法的阶数 方法 综上所述，收敛性是反映差分公式本身的截断误差对数值解的影响；稳定性是反映计算过程中舍入误差对数值解的影响。单步显式方法的稳定性与步长密切相关，在一种步长下是稳定的差分公式，取大一点步长就可能是不稳定的，只有既收敛又稳定的差分公式才有实用价值。 §6.5 线性多步方法 6.5.1 利用待定参数法构造线性多步方法 6.5.2 利用数值积分构造线性多步方法 Adams显式公式： Adams隐式公式： 1.732051 1.732048 1.731566 1.0 1.673320 1.673318 1.672914 0.9 1.612452 1.612450 1.612114 0.8 1.549193 1.549192 1.548917 0.7 1.483240 1.483239 1.483017 0.6 1.414214 1.414213 1.414045 0.5 1.341641 1.341641 1.341551 0.4 1.264911 1.264912 0.3 1.183216 1.183217 0.2 1.095445 1.095446 0.1 1 1 0 精确值y(xn) 校正值yn 预估值 R-K法yn xn 预校算式每一步只需重新计算f(x,y)的函数值二次，因此比四阶标准R-K公式的计算量小。其缺点是要用其他方法计算起始值，计算过程中改变步长困难。 §6.6 常微分方程组与高阶微分方程的数值解法 一阶常微分方程初值问题的数值方法，原则上都可推广到一阶方程组和高阶方程情形。 6.6.1 一阶常微分方程组的数值解法 一阶常微分方程初值问题如下: 其四阶R-K方法为： 6.6.2 高阶方程的数值解 4.50×10-6 -00-01.0 4.76×10-6 -00-00.9 4.56×10-6 -00-00.8 4.05×10-6 -00-00.7 3.41×10-6 -0-0-00.6 2.71×10-6 -0-0-00.5 2.03×10-6 -0-000.4 1.39×10-6 -0-0-00.3 8.3×10-7 -0-0-00.2 3.7×10-7 -0-0-00.1 0 -0-0-00.0 |y(xn)-yn| y(xn) zn yn xn 例6.8. 求解微分方程组 解: 首先编制微分方程组的m文件 function z=fun(x,y) z(1)=x-y(1)+2*y(2); z(2)=2*x-3*y(1)-5*y(2); z=z; 再编写求解程序 * * 江西理工大学 第六章 常微分方程数值解法 §6.1 引言 1、 一阶常微分方程初值问题的一般形式是 其中: 2、方程6.1解存在定理 3、数值解的分类 6.2.1 Euler公式 假设初