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大自然中的斐波那契数列 花瓣的数目 大自然中的斐波那契数列 大自然中的斐波那契数列 斐波那契数列与音乐 斐波那契数列与音乐 3 2 5 3 8 5 * 极限存在准则及其应用 数理系 苑静 第一章 二 、极限存在准则的应用 一、极限存在准则 极限存在准则及其应用 内容回顾： 数列的定义： 自变量取正整数的函数称为数列，记作 或 称为通项。 数列极限的定义： 无限增大时，数列 无限趋近于 则称该数列以 如果 为极限。 常数 单调有界数列必有极限 一、极限存在准则 二 、极限存在准则的应用 例1 已知数列 证明 此数列极限存在。 证： 显然单调递增，且 其中 ——自然对数之底 此数列极限必然存在。 斐波那契数列 斐波那契（1170 ? 1250 ） 意大利商人兼数学家 他在著作《算盘书》中，首先引入阿拉伯数字，將「十进位值记数法」介绍给欧洲人认识，对欧洲的数学发展有深远的影响。 问题提出 在 1202 年，斐波那契在他的著作中，提出以下的一个问题： 假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会有多少对兔子呢？ 解答 1 月 1 对 解答 1 月 1 对 2 月 1 对 解答 1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 解答 1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 解答 1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对 斐波那契数列 令 依次写出数列，就是 这就是斐波那契数列，其中的任一个数， 都叫做斐波那契数。 用 表示第 个月的兔子的对数，则有 如下递推公式 与斐波那契数列密切相关的一个重要极限是 或者 下面我们先来说明 式的含义并证明（至于 式的含义见本例稍后的说明。） 记 则 就是第 月相对于第 月的兔子对数增长率 若 存在，则 表示许多年后兔子 对数的月增长率。 并求此极限。 证： 其中 例2 证明数列 用数学归纳法容易证明： 数列 是单调减少的。 是单调增加的； 数列 又对一切 成立， 是有界的。 即数列 的极限存在， 根据“单调有界数列必有极限”的准则， 的极限存在， 与 分别记作 知数列 即 分别对 与 的两边取极限，得 与 整理，得 与 两式相减，得 即 因此 存在，记作 即 对 两边取极限，得 解此方程，得 因为 即 从而 如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 黄金分割（Golden Section） 那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫 做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比。 A C B 那么，黄金分割与斐波那契数列有何关系呢？ 原来，黄金分割点的位置恰好是数列 当 时的 极限 见（1）式。 黄金分割在建筑、文艺、工农业生产和科学实 验中有着广泛而重要的应用。 图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618 叶子中的黄金分割 建筑中的神秘数字 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。高（137米）与底边长（227米）之比为0.629,但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618. 绘画艺术中的黄金分割 蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美. 海棠（2） 钱兰（3） 花瓣的数目 洋紫荊（5） 黃蝉（5） 蝴蝶兰（5） 花瓣的数目 雏菊（13） 雏菊（13） * * * 数列单调递增 * *