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教学设计 两个圆的位置关系2 常鸿 一、教学目标? 1、掌握相交两圆的性质定理； 2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法； 3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力； 4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美． 教学重点 相交两圆的性质及应用． 教学难点? 应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线． 教学活动设计 （一）图形的对称美 相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形．相交两圆具有什么性质呢? （二）观察、猜想、证明 1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形． 2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”． 3、证明： 对A层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织；对B、C层在教师引导下完成． 已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B． 求证：Q1O2是AB的垂直平分线． 分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B．? 证明：连结O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B， ∴O1点在AB的垂直平分线上． 又∵O2A＝O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上． 因此O1O2是AB的垂直平分线． 也可考虑利用圆的轴对称性加以证明： ∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴． ∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上． ∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点， ∴连心线O1O2是AB的垂直平分线． 定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦． 注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线． （三）应用、反思 例1、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。 求∠OlAB的度数． 分析：由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线， 又⊙O1与⊙O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，△O1AO2构成等边三角形，同时可以推证⊙O l和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形．从而可由 ∠OlAO2＝60°，推得∠OlAB＝30°． 解：⊙O1经过O2，⊙O1与⊙O2是两个等圆 ∴OlA=O1O2=AO2 ∴∠O1A O2=60°， 又AB⊥O1O2 ∴∠OlAB =30°． 例2、已知，如图，A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点。过点A的直线MN垂直于PA，交⊙O l、⊙O2于M、N。 求证：AM=AN． 证明：过点Ol、O2分别作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足为C、D，则OlC∥PA∥O2D，且AC= AM，AD= AN． ∵OlP=O2P ，∴AD=AM，∴AM=AN． 例3、已知：如图，⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，C为⊙Ol上一点，AC交⊙O2于D，过B作直线EF交⊙Ol、⊙O2于E、F． 求证：EC∥DF 证明：连结AB ∵在⊙O2中∠F=∠CAB， 在⊙Ol中∠CAB=∠E， ∴∠F=∠E，∴EC∥DF． 反思：在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、公共弦，或连结交点与圆心，从而把两圆半径，公共弦长的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知识来解，或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解． （四）小结 知识：相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦．该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据． 能力与方法：①在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用；②圆的对称性的应用． （五）作业? 七、探究活动 问题1：已知AB是⊙O的直径，点O1、O2、…、On在线段AB上，分别以O1、O2、…、On为圆心作圆，使⊙O1与⊙O内切，⊙O2与⊙O1外切，⊙O3与⊙O2外切，…，⊙On与⊙On-1外切且与⊙O内切．设⊙O的周长等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周长分别为C1、C2、…、Cn． (1)当n=2时，判断Cl+C2与C的大小关系； (2)当n=3时，判断Cl+C2+ C3与C的大小关系； (3)当n取大于3的任一自然数时，Cl十C2十…十Cn与C的大小关系怎样?证明你的结论． 提示：假设⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半径分别为r、rl、r2、…、rn，通过周长计算，比较可得（1）Cl+C2=C；（2）Cl+C2+ C3=C；（3）Cl十C2十…十Cn=C． 问题