随机截断模型下中心极限定理料.pdfVIP

数 学 年 刊 23A：3(2002)，345—354 随机 截 断模 型 下 的 中心 极 限定 理 料 何 书元木 提 要 在流行病学 ，生物统计学和天文学 中常遇到随机截断数据 ．在随机截断下，人们关心 的随机变量 被另一个随机变量 y 干扰．只有 当 y 时，才能观测到 和 y．在这个模型下，人们 需要用截 断数据估计 的分布函数 F．本文证明， F 的非参数最大似然估计 R 在下述意义下服从 中心极限 定理．对任何可测函数9(0)，、／元r9(0)d【F (z)一dF(z)】依分布收敛到均值为零方差为 的正态分 布．从这个结果可以得出 F 的各种矩 ，特征函数等估计 的渐近正态性．作为推论 ，还可以得到 Fn在 整个直线上 的依分布收敛 ．我们 的结果不要求 和 y 的分布函数连续 ，得到 的方差公式是简明的． 关键词 随机截断，乘积限估计，渐近正态性 MR (2000)主题分类 62G05，60F15 中图法分类 O211．6，O211．4 文献标识码 A 文章编号 1000—8314(2002)03—0345—10 §1．引言 和 主 要 结 果 设 X1，X2，… 是概率空间 (Q， ，P)上的独立同分布 (iid．)随机变量列．用 F表示 他们公共的分布函数．引入F的经验分布函数R ()=n ∑ ]．这里Z[A]是 的示性函数．对满足 ．rg2dF∞的可测函数g，中心极限定理 (CLT)说明 广 一 d(R —F)-+dN(O， )． (1．1) ， 其中 d表示依分布收敛， =． rg2dF一(．rgdF)． 本文将在随机截断数据模型下，对 F 的非参数最大似然估计建立上述的 CLT． 考虑 iid．的随机序列 ( ，ym)，m=1，2，… ，其中 有公共的分布函数F，ym有公 共的分布函数 G．对每个m，分量 和 ym是独立 的．设只有当 时才可以观测 到 和 ym．这样，观测数据是原来数据列的一个子列．为方便，用 {( ， )，J=1，2，… ) 表示这个观测序列．这时， 和 不再独立．但是序列 {(uj，yj)，J=1，2，… )仍然是 iid．的 (见 1【])．以后在只论及分布性质时，将用 (x，y)表示 (x ， )，用 (，)表示 ( ， )． 随机截断模型由联合分布 F (，Y) F (，Y)=p[m ，V Y]=P[ ，Y ylX Y] (1．2) 本文 2000年 7月 18 日收到， 2001年 4月 17 日收到修改稿 }北京大学数学科学学 院，北京 100871． }}国家 自然科学基金 (No资助的项 目． 数 学 年 刊 23卷 A 辑 定义．在这个模型中，感兴趣的问题是用截断数据 ( ， )，J=1，… ，佗估计 X 的分布 F．随机截断数据常在天文学，经济学，流行病学，生物统计学和其它领域中出现 [-5】． 随机事件 X【 Y】影响了X 的观测值域．对连续的F，利用截断数据只能估计 F0()=P【 xlX aG]． (1．3) 这里aG=inf{y：a(y)0)是y 的下确界．将用 bc=sup{y：a(y)1)． (1．4)