利用空间向量求解2008年高考立几探索性问题.docVIP

利用向量法处理高考立几“存在性”问题 江苏省苏州市吴县中学 张文海 邮编：215151 纵观近几年全国各地高考立几综合题，求空间距离、空间角及证明空间平行垂直关系是立体几何盛行不衰的主题。用传统的综合推理法解立体几何问题往往需要较强的空间想象力,技巧性较强,一旦思路受阻就只能放弃。新课程增加的空间向量，利用代数的方法为解决这些问题提供了方便。其显著优点是减弱了推理论证的成份，用计算来代替论证。下面举例谈谈向量法求解历年高考立体几何“存在性”问题的思路。 一、与“距离”有关的存在性问题 例1:(2008年福建理18题)如图1-1，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点. （Ⅰ）（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 图1-1 图1-2 解：(Ⅰ) (Ⅱ)略。 (Ⅲ)以O为坐标原点，以射线OC,OD和OP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图1-2所示的空间直角坐标系O-xyz, 依题意得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 易知 设平面PCD的法向量为，则 所以,即. 得平面PCD的一个法向量为 假设在线段AD上存在点Q，使得它到平面PCD的距离为， 设由，得 解y=-或y=(舍去)，此时，所以 反过来，以上各步均可逆。所以存在点Q满足题意，此时. 点评：立体几何中的点面距离可由公式解决，其中向量为平面的法向量，向量为平面外一点点与面上任一点所构成的向量。线面距离和面面距离都可以转化为点面距离来处理。 二、与“角”有关的存在性问题 例2：(2008年浙江理18题)如图2-1,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直， BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。 （Ⅰ）？ 图2-1 图2-2 解：(Ⅰ)略。 (Ⅱ）面BEFC且，所以 以点C为坐标原点，以射线CB,CF和CD的方向分别作为轴，轴和轴的 正方向，建立如图2-2所示的空间直角坐标系． 设， 依题意得，，，，． 则，， 所以，，从而 解得． 所以， 设平面的法向量为，则，即 所以，解得．又因为平面， 所以平面的一个法向量为， 所以，得到． 反过来，以上各步均可逆。所以当为时，二面角的大小为． 例3：(2006年江西理20题)如图3-1，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形 (Ⅰ)求证：AD(BC (Ⅱ)求二面角B－AC－D的大小 (Ⅲ)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30(角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。 图3-1 图3-2 解：(Ⅰ)(Ⅱ)略。 (Ⅲ) 易得AB=AC=BC= 取BC的中点M，连接AM,DM,过点A作AH垂直于DM的延长线于点H。 由(1) 问可知面ABC面BCD，从而易得AH面BCD 过点A,D分别作DH,AH的平行线交于点N。 因为AH面BCD且DNAH,所以DN面BCD 以点D为坐标原点，以射线DB,DC和DN的方向分别作为轴，轴 和轴的正方向，建立如图3-2所示的空间直角坐标系D-xyz． 依题意得D(0,0,0)，C(0,1,0),AM=，DM=. 在中， 在中，, AM=，可得AH=1，MH= 所以DH=DM+MH=+=.又, 从而点A的坐标为(1,1,1),点N的坐标为(0,0,1) 因为DN面BCD，所以平面BCD的一个法向量为 假设在线段AC上是否存在一点E满足题意， 则 设DE与平面BCD所成的角为，所以 ,解得 此时,所以,反过来，以上各步均可逆。 故在线段AC上存在E点，当CE＝1时，ED与面BCD成30(角。 点评：异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二角角是立体几何中空间角的三种类型。传统综合推理法的三步是“作—证—算”，但作这几个角的过程对空间想象能力和逻辑推理能力的要求比较高，而利用向量法解此类问题就可以避开抽象、复杂地寻找角的过程。只要能够熟练应用公式(是直线的方向向量和平面的法向量)和(分别是平面的法向量和直线的方向向量)，就可以避烦就简，从而顺利地解决问题。 三、与“平行”有关的存在性问题 例4:(2004年湖南理20题)如图4-1，在底面为菱形的四棱锥P-ABC中,, PA=AC=a, PB=PD=, 点E