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调整三角函数部分内容教学顺序实践与探究 花都区秀全中学 刘志芳 2010年4月（初稿）7月（定稿） 【内容摘要】按现行人教A版课本顺序授课，讲完必修四，再讲必修五，即必修四《三角函数》、必修四《平面向量》，必修四《三角恒等变形》，必修五《解三角形》；相对于旧版教材来说，新教材的系统性，连贯性相对较差，学生学习完《平面向量》后，学生早就把前面学的三角公式忘记了，还要花时间先复习前面的内容，再学第三章《三角恒等变形》，这样浪费了时间与精力，学生学习效率低。我现在（2009年9月高一新生）在高一（4）班（人数59）试行以“必修4《三角函数》、必修4《三角恒等变换》、必修5《解三角形》、必修4《平面向量》”顺序授课。我主要从“前后知识系统性”、“前后知识的有没有重复”、 “前后知识连贯性”、“分散难点”等方面进行考虑，考虑是否可以将三角函数部分内容的授课顺序调整一下，这样的安排突出了三角内容的连续性和整体性。 【关键词】 调整 三角函数 教学顺序 实践 探究 第一部分 整改措施 我主要从“前后知识系统性”、“前后知识的有没有重复”、 “前后知识连贯性”、“分散难点”等方面进行考虑，考虑是否可以将三角函数部分内容的授课顺序调整一下，调整后教材内容的前后顺序如下： 必修4《三角函数》必修4《三角恒等变换》必修5《解三角形》必修4《平面向量》按现行课本顺序讲完必修四，再讲必修五必修四三角函数、必修四平面向量，必修四三角恒等变形，必修五解三角形平面向量三角恒等变形必修4《三角函数》必修4《三角恒等变换》必修5《解三角形》必修4《平面向量》的证明： 证明：在直角坐标系xOy内，作单位圆O，并作α，β和-β角；使α角的始边为Ox，交圆O于P1,终边交圆O于P2；β角的始边为OP2，终边交圆O于P3； -β角的始边为OP1，终边交圆O于P4。这时P1 ，P2 ，P3 ，P4的坐标分别为 P1 (1,0)，， 由△P1OP3≌△P2OP4,得|P1P3|=|P2P4|及两点间距离公式得 上面的公式，对于任意的角α和β都成立。 在上面的公式中，用-β代替β，就得到 （引用1983年人教版高中代数第一册第173~174页） 2、怎样从《必修4第三章》过渡到《必修5第一章》呢？ (1)正弦定理(R为△ABC的外接圆半径)的证明： 证明：设△ABC的外接圆圆心为O，连BO并延长交圆于D，连CD，同弧所对圆周角相等，∠A=∠D, 则在Rt△BCD中，， 同理可证，故 (2)余弦定理的证明： 证明：（1）若∠A =90°,则有Rt△ABC，由勾股定理，而 故成立。 （2）若∠A为锐角，过C作AB边的高CD，在Rt△BCD中， CD=bsinA，AD=bcosA，BD=c-bcosA，由勾股定理得 （3）若∠A为钝角，过C作AB边的高CD交BA延长线于D，在Rt△BCD中， CD=bsin（π－A），AD=bcos（π－A），BD=c+bcos（π－A），由勾股定理得 则 综上所述，对任意△ABC都有成立。 同理可证： 第三部分 成效 从必修五第一章《解三角形》测试试验的成效，用一句话概括就是五花八门，八仙过海各显神通。从交上来的58份学生周日测验卷中可以清楚的看到各种各样的解法（虽然还没学《平面向量》，但发现有两位同学是用向量做的），比如： 测试题15题(2007年广东理16、本小题满分12分)已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．(1) 若，求sin∠A的值；(2)若∠A是钝角, 求的取值范围． （1）解法1： 解法2：由正弦定理得 解法3： 解法4： 评讲试卷时将学生的解法改良后得解法： 解法5：直线AC方程为，AC边上的高BE所在直线方程为，解得E（4，2）， 由两点间距离公式 评讲试卷时将学生的解法改良后得解法：直线AC方程为， 由点到直线距离得AC边上的高 解法6： （1）若c=5，则， (2) 解法1：若∠A =90°时,△ABD∽△ABC,, 故∠A是钝角时, 解法2：若∠A =90°时,由勾股定理得 ，故∠A是钝角时, 解法3：由余弦定理 解法4：若∠A =90°时,在Rt△ABD中， 在Rt△ABC中,∴,故∠A是钝角时, 解法5： 若∠A =90°时,, 故∠A是钝角时, 解法6：若∠A是钝角时， 则 又如测试题16：已知点A(1,2)和B(4,－1)，问能否在y轴上找到一点C， 使∠ACB=90°，若不能，说明理由，若能，求出点C的坐标。 解法1：假设在y轴存在一点C(0,y)，使∠ACB=90°。由余弦定理得所以，满足条件的点C不存在。 解法2：假设在y轴存在一点C(0,y)，使∠ACB=90°。 由两点间距离公式及勾股定理得 所以，满足条件的点C不存在。 解法3：假设在y轴存在