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第六讲 微分方程 内容提要： 微分方程的概念 微分方程： 微分方程的阶 微分方程的解隐式解 微分方程的通解与隐式通解 微分方程的特解 微分方程的初值问题 微分方程的积分曲线 增根与失根问题：（奇解：不能从通解中得到的解） 求微分方程的通解。解：。 增根：原方程解的曲线不过原点 解方程。解：JCP306，通解为：； 失根：实际上微分方程的解包括或说积分曲线过原点。 建议：注意题目是 解方程 还是 求方程的通解 一阶微分方程 可分离变量方程： 例。解：拆不成就捆令成可分离了 注意倒过来的情况：----JCP313 齐次方程： 一阶线性方程：其解： 建议： 例即： 注意倒过来的情况：，即 *贝努利方程 *可降阶的微分方程 直接积分型 不显含Y型 不显含X型 高阶线性微分方程解的结构 齐次的： 结论1：如果与是方程的两个解，则也是其解 结论2：如果与是方程的两个无关的解，则是方程的通解 推论：如果是齐次方程的N个无关的解，则其通解为 非齐次的： 结论1：设是方程的一个特解，则是对应的齐次方程的通解， 则是非齐次的通解 结论2：如果非齐次方程为而与分别是方程 和的特解，则是原方程的特解 二阶常系数线性微分方程 常系数齐次线性微分方程 特征方程的两个根 微分方程的通解 两个不相等的实根 两个不相等的实根 一对共轭复根 例1： 例2： 例3： 常系数非齐次线性微分方程（简单的） 特解的求法：待定系数法，（常数变易法，微分算子法） 结论1：如果，则方程有形如的特解， 例1： 例2： 例3 解1：不是特征方程的根，故代入原方程得C=1 解2：是特征方程的单根，故代入原方程得 解3：是特征方程的重根，故代入原方程得 结论2：如果，则方程有形如的特解， ，， 例4： 例5 解4：是特征方程的单根，故 代入原方程得即： 解5：不是特征方程的单根，故 代入原方程得即： 微分方程的简单应用 几何中的应用 *力学中的应用 经济应用 第六讲 微分方程-题型 解与通解问题 例 ，通解，不包括 一阶线性方程：其解： 设可导，且，求 解：将原方程两边乘以X，得对左端积分令 ，求导得： 即：通解： 求解微分方程 解：， 对应的齐次方程：的解为，再用常系数变易法代入原方程求出解。。。。 解二：直接用公式：通解为， 故通解为 练习：求方程的通解。 （ 高阶线性微分方程解的结构 例 解：对应齐次方程通解为： （特征方程为） 的特解为代入得C=1/2，即 的特解为代入得：即： 原方程的通解为 微分方程的初值问题 例 设为一阶连续函数，且满足，求 解：显然，则， 注意边值条件： 齐次方程的通解为： 非齐次方程的一个特解为：代入解得 故通解为： 由初值条件得故 注意：积分方程化为微分方程时，不要忘记找出隐含的初始条件。 简单应用 例 （01S2）设L是一条平面曲线，若上任一点到坐标原点的距离， 恒等于该点处的切线在Y轴上的截距，且L经过，试求L的方程。 解：设曲线L过点的切线方程为，令X=0， 则该切线在Y轴上的截距为，由题设有 这是齐次微分方程。令，化为，解之得 由L经过，知C=1/2，L的方程为即： *微分方程用于求幂级数的和函数 例 求幂级数的和函数 解：设，则有且， 。。。。。。。